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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2016

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{x+2y+2z=1x+(a+1)y−z=1−2x−(2a+2)y+(a2−2)z=a\begin{cases} x + 2y + 2z = 1 \\ x + (a + 1)y - z = 1 \\ -2x - (2a + 2)y + (a^2 - 2)z = a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera el plano π\pi que pasa por los puntos P≡(1,1,3)P \equiv (1, 1, 3), Q≡(2,1,0)Q \equiv (2, 1, 0) y R≡(−1,−4,−1)R \equiv (-1, -4, -1). Encuentra el punto de π\pi que más cerca está del punto S≡(−3,1,1)S \equiv (-3, 1, 1) (o sea, el pie de la perpendicular de SS a π\pi).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→0xtg⁡x1−cos⁡(2x)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \tg x}{1 - \cos(2x)}1 pt
b
lim⁡x→1x(xsen⁡(πx))\lim_{x \rightarrow 1} x^{\left(\frac{x}{\sen(\pi x)}\right)}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=∣x−1∣−1f(x) = |x - 1| - 1 y g(x)=sen⁡(π2x)g(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right), encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matrizA=(−101−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}calcula A57A^{57} y A−68A^{-68}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente ar≡{2x−y−2=0x−2y+z−3=0y as≡x−22=y−4−1=z+21r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ x - 2y + z - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y a} \quad s \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 2}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla las asíntotas de la funcióny=4x2−12x+4y = \frac{4x^2 - 1}{2x + 4}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=sen⁡(π2x2)ex2f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) e^{x^2}demuestra que existe un valor α∈(−1,1)\alpha \in (-1, 1) tal que f′(α)=2f'(\alpha) = 2. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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