Matemáticas II · Navarra 2016

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + 2y + 2z = 1 \\ x + (a + 1)y - z = 1 \\ -2x - (2a + 2)y + (a^2 - 2)z = a \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ calcula $A^{57}$ y $A^{-68}$.

Se considera el plano $\pi$ que pasa por los puntos $P \equiv (1, 1, 3)$, $Q \equiv (2, 1, 0)$ y $R \equiv (-1, -4, -1)$. Encuentra el punto de $\pi$ que más cerca está del punto $S \equiv (-3, 1, 1)$ (o sea, el pie de la perpendicular de $S$ a $\pi$).

Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a $$r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ x - 2y + z - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y a} \quad s \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 2}{1}$$

Calcula los siguientes límites:

Halla las asíntotas de la función $$y = \frac{4x^2 - 1}{2x + 4}$$

Dadas las funciones $f(x) = |x - 1| - 1$ y $g(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)$, encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.

Dada la función $$f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) e^{x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.