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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2013OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=xln⁡(x)f(x) = \frac{x}{\ln(x)} para x>0x > 0, x≠1x \neq 1 (donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
b
Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=ex = e.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} la función definida porg(x)=1x+xg(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}}Determina la primitiva de gg cuya gráfica pasa por el punto P(1,0)P(1, 0). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t=xt = \sqrt{x}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
SeanA=(−21−3−1mm−2m02),B=(110)yX=(xyz)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m - 2 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a
Determina el rango de AA según los valores del parámetro mm.1,25 pts
b
Discute el sistema AX=BAX = B según los valores del parámetro mm.0,75 pts
c
Resuelve el sistema AX=BAX = B para m=1m = 1.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,2,1)A(1, 2, 1), B(−1,0,2)B(-1, 0, 2) y C(3,2,0)C(3, 2, 0) y el plano π\pi determinado por ellos.
a
Halla la ecuación de la recta rr que está contenida en π\pi y tal que AA y BB son simétricos respecto de rr.1,75 pts
b
Calcula la distancia de AA a rr.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=k(x−a)(2x−1)f(x) = \frac{k}{(x - a)(2x - 1)} para x≠ax \neq a y x≠12x \neq \frac{1}{2}.
a
Halla aa y kk sabiendo que la gráfica de ff pasa por el punto (0,2)(0, 2) y que la recta x=2x = 2 es una asíntota de dicha gráfica.1 pt
b
Para k=4k = 4 y a=2a = 2, halla los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0π2xsen⁡(2x) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sen(2x) \, dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean AA y BB las matricesA=(2−3−35)yB=(1−4−95)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix}
a
Calcula las matrices XX e YY para las que 2X−Y=A2X - Y = A y X−3Y=BX - 3Y = B.1,25 pts
b
Halla la matriz ZZ que verifica B2+ZA+Bt=3IB^2 + ZA + B^t = 3I (II denota la matriz identidad y BtB^t la matriz traspuesta de BB).1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas rr y ss dadas porr≡{x=2−3λy=3+5λz=λys≡{x+y−1=0z−5=0r \equiv \begin{cases} x = 2 - 3\lambda \\ y = 3 + 5\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ z - 5 = 0 \end{cases}
a
Determina la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Calcula la distancia entre rr y ss.1,5 pts
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