Matemáticas II · País Vasco 2011

Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $$S = \begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ 2x + 5y + 4z = -2 \\ x + 3y + m^2z = m \end{cases}$$

Dada la matriz $A$ $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Sean $r$ y $s$ las siguientes rectas: $$r = \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -4 + 3t \\ z = 0 \end{cases}, \quad s = \begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ x - y = -6 \end{cases}$$ Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$ y tal que contenga al punto $P = (3, -1, 2)$.

Sea $\pi$ el plano de ecuación $x - y + z = 0$ y sea $P$ el punto $(2, 1, 3)$. Calcular el punto simétrico de $P$ respecto a $\pi$, explicando el proceso seguido para dicho cálculo.

Sea $f$ la función $f(x) = x^2 e^{-2x}$.

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$ de forma que la gráfica de $f$ contenga al punto $(0, 1)$ y las rectas tangentes a $f$ en los puntos $x = 0$ y $x = 1$ sean ambas paralelas a la recta $y = 3x + 5$.

Calcular las integrales indefinidas que siguen $$\int x \ln(x) \, dx, \quad \int x \sen(2x) \, dx$$ explicando el método seguido para el cálculo.

Sean $f$ y $g$ las funciones $f(x) = x^2 + 3x + 2$ y $g(x) = -x^2 - 3x + 10$.

La suma de 30 múltiplos consecutivos de 7 es igual a $9345$. ¿Cuál es el primer y último número de esta serie de múltiplos? Razonar la respuesta.

Ane, Berta y Carlos están jugando a un juego que consiste en lanzar dos dados al mismo tiempo. Ane suma los resultados de los dos dados, mientras que Berta calcula la diferencia entre la mayor puntuación y la menor y Carlos multiplica las puntuaciones. Ane apuesta por el 6, Berta por el 2 y Carlos por el 4. ¿Son equilibradas estas apuestas o alguno de los tres tiene ventaja? Razona la respuesta.