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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2011

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. • El examen consta de cinco ejercicios. • Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. • Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:S={x+2y+3z=−12x+5y+4z=−2x+3y+m2z=mS = \begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ 2x + 5y + 4z = -2 \\ x + 3y + m^2z = m \end{cases}
a
Discutir su compatibilidad en función del parámetro mm.
b
Resolver el sistema para m=0m = 0.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean rr y ss las siguientes rectas:r={x=3+ty=−4+3tz=0,s={x+y−2z=1x−y=−6r = \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -4 + 3t \\ z = 0 \end{cases}, \quad s = \begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ x - y = -6 \end{cases}Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas rr y ss y tal que contenga al punto P=(3,−1,2)P = (3, -1, 2).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea ff la función f(x)=x2e−2xf(x) = x^2 e^{-2x}.
a
Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b
Estudiar sus máximos y mínimos y trazar un bosquejo de su gráfica.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular las integrales indefinidas que siguen∫xln⁡(x) dx,∫xsen⁡(2x) dx\int x \ln(x) \, dx, \quad \int x \sen(2x) \, dxexplicando el método seguido para el cálculo.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La suma de 30 múltiplos consecutivos de 7 es igual a 93459345. ¿Cuál es el primer y último número de esta serie de múltiplos? Razonar la respuesta.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz AAA=(10αα0−12−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Contestar razonadamente a la siguiente pregunta: ¿existe algún valor de α∈R\alpha \in \mathbb{R} tal que AA no tenga inversa para ese valor?
b
Calcular, en caso de que sea posible, la matriz inversa de A2A^2 para α=0\alpha = 0.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea π\pi el plano de ecuación x−y+z=0x - y + z = 0 y sea PP el punto (2,1,3)(2, 1, 3). Calcular el punto simétrico de PP respecto a π\pi, explicando el proceso seguido para dicho cálculo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Encontrar los valores de aa, bb y cc de forma que la gráfica de ff contenga al punto (0,1)(0, 1) y las rectas tangentes a ff en los puntos x=0x = 0 y x=1x = 1 sean ambas paralelas a la recta y=3x+5y = 3x + 5.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean ff y gg las funciones f(x)=x2+3x+2f(x) = x^2 + 3x + 2 y g(x)=−x2−3x+10g(x) = -x^2 - 3x + 10.
a
Trazar un esquema gráfico de ambas funciones.
b
Calcular el área de la región del plano limitada por ambas funciones.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Ane, Berta y Carlos están jugando a un juego que consiste en lanzar dos dados al mismo tiempo. Ane suma los resultados de los dos dados, mientras que Berta calcula la diferencia entre la mayor puntuación y la menor y Carlos multiplica las puntuaciones. Ane apuesta por el 6, Berta por el 2 y Carlos por el 4. ¿Son equilibradas estas apuestas o alguno de los tres tiene ventaja? Razona la respuesta.
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