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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(2413)A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} y B=(−21−20)B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}
a
Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.1,5 pts
b
Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB=A+BAXB = A + B1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la recta rr que pasa por los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1) y B=(3,3,4)B = (3, 3, 4) y la recta ss cuyo vector director es v⃗=(−1,3,1)\vec{v} = (-1, 3, 1) y pasa por el punto C=(4,0,3)C = (4, 0, 3).
a
Determine las ecuaciones continuas de rr y ss.1 pt
b
Estudie la posición relativa de rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x−1x+3)x\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x - 1}{x + 3} \right)^x.1 pt
b
lim⁡x→1(1ln⁡x−1x−1)\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} \right)1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫cos⁡xsec⁡2x1+sec⁡2xdx\int \frac{\cos x \sec^2 x}{1 + \sec^2 x} dx.1,5 pts
b
Obtenga una primitiva F(x)F(x) de la función cos⁡xsec⁡2x1+sec⁡2x\frac{\cos x \sec^2 x}{1 + \sec^2 x} que cumpla la condición F(π2)=1F(\frac{\pi}{2}) = 1.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{ax+2y+z=1x+2ay+z=2x+2y+az=−3\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ x + 2ay + z = 2 \\ x + 2y + az = -3 \end{cases}
a
Determine para qué valores del parámetro aa el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.0,75 pts
b
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1,25 pts
c
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1), B=(1,−1,0)B = (1, -1, 0) y C=(0,−2,1)C = (0, -2, 1).
a
Calcule el área del triángulo ABC.1,25 pts
b
Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=xe−x2f(x) = x e^{-x^2} se pide:
a
Calcular lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x)0,5 pts
b
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida ∫ln⁡(1+x2)x2dx\int \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} dx
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Ejercicio 5

5
1 punto
Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P(A)=35P(A) = \frac{3}{5}, P(B)=710P(B) = \frac{7}{10}, P(A‾∩B‾)=110P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{10}. Calcule: P(A∪B)P(A \cup B), P(A∩B)P(A \cap B), P(B‾/A)P(\overline{B} / A). (Donde, si C y D son sucesos C‾\overline{C} denota el suceso complementario de CC y P(C/D)P(C / D) denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D).
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