Matemáticas II · Murcia 2017

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ x + 2ay + z = 2 \\ x + 2y + az = -3 \end{cases}$$

Considere la recta $r$ que pasa por los puntos $A = (1, 1, 1)$ y $B = (3, 3, 4)$ y la recta $s$ cuyo vector director es $\vec{v} = (-1, 3, 1)$ y pasa por el punto $C = (4, 0, 3)$.

Considere los puntos $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, -1, 0)$ y $C = (0, -2, 1)$.

Calcule los siguientes límites:

Dada la función $f(x) = x e^{-x^2}$ se pide:

Calcule la siguiente integral indefinida $\int \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} dx$

En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?

Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B) = \frac{7}{10}$, $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{10}$. Calcule: $P(A \cup B)$, $P(A \cap B)$, $P(\overline{B} / A)$. (Donde, si C y D son sucesos $\overline{C}$ denota el suceso complementario de $C$ y $P(C / D)$ denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D).