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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2023ExtraordinariaTitular

Matemáticas CCSS · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada. d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A
Se considera la matrizA=(1000200−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Pruebe que se verifica que A−1=12(A2−4A+5I3)A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I_3).1,5 pts
b
Dada la ecuación matricial XtA=(1203−11)X^t A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}, resuelva dicha ecuación.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A
Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda minutos y utiliza de las piedras de mayor calidad y de las de menor calidad. Para el otro tarda minutos y utiliza piedras de mayor calidad y de menor calidad. Semanalmente, el artesano dispone de piedras de mayor calidad y de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos minutos a la semana. Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a , el segundo a y que deben fabricarse al menos anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor?
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B
El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero, coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 y g(x)=5−2xg(x) = 5 - 2x donde está expresado en metros.
a
Represente gráficamente la zona deteriorada.1 pt
b
Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B
Sea la función f(t)=12t−24t+3; t≥0f(t) = \frac{12t - 24}{t + 3}; \, t \geq 0.
a
Represente gráficamente la función, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de ff.1,5 pts
b
Si la función representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde indica los años de vida de la empresa:1 pt
b.1
¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.0,5 pts
b.2
A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C
Una caja contiene fichas verdes, fichas azules y fichas rojas. Un juego consiste en realizar dos extracciones, sin reemplazamiento, de tal manera que el jugador que saque dos fichas azules gana el primer premio, el jugador que saque dos fichas verdes gana el segundo premio y el jugador que, de las dos fichas, una sea azul y otra de un color diferente gana el tercer premio.
a
Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio.0,75 pts
b
Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio.0,75 pts
c
Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio?1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C
Dados dos sucesos AA y BB de un experimento aleatorio, se sabe que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3 y P(A/B)=0,6P(A/B) = 0{,}6. Se pide:
a
Calcule P(A∩B)P(A \cap B).0,5 pts
b
Calcule P(A∪B)P(A \cup B).0,75 pts
c
Calcule P(Ac∩Bc)P(A^c \cap B^c).0,75 pts
d
Razone si los sucesos AA y BB son independientes. ¿Son incompatibles?0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D
a
Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados juveniles, adultos y seniors. Se quiere seleccionar una muestra de personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?1 pt
b
Dada la población, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D
En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrió la erupción del volcán Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de casas resultando que de ellas estaban afectadas por la erupción.
a
Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del?1,25 pts
b
Para un nivel de confianza del y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del?1,25 pts
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