Matemáticas II · Asturias 2016

Dado el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ a y + z = 1 \\ x + 2 y + 2 z = 3 \end{cases}$$

Dados los números reales $a, b, c, x$, se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x & b & c \\ a & x & 1 \\ b & c & x \end{pmatrix}$

Considere los planos $\pi_1: x + z = 0$ y $\pi_2: z - 3 = 0$.

Sabiendo que el $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{m}{2x} \right)$ es finito, calcule el valor del número real $m$ y halle el valor del límite.

Partiendo en dos trozos un alambre recto de $340$ centímetros de longitud, se construyen un cuadrado y un rectángulo. Sabiendo que la base del rectángulo mide el doble que su altura, calcule las longitudes de cada uno de los trozos de alambre para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

La curva $y = \sqrt[3]{x}$ y las rectas $x = 8$ e $y = 1$ limitan un recinto cerrado finito en el plano.

Obtenga $\int_{1}^{2} \frac{4x^2 + 8x + 1}{x^2 + 2x} dx$.