Matemáticas II · País Vasco 2011

Dado el siguiente sistema de ecuaciones $$S = \begin{cases} \lambda x + 2y = 3 \\ -x + 2\lambda z = -1 \\ 3x - y - 7z = \lambda + 1 \end{cases}$$ Discutir el sistema para los distintos valores de $\lambda$. Si existen casos de indeterminación resolver en dichos casos. Si no existen explicar porqué.

$A$ es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica la igualdad matricial $$A \cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} + A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calcular de forma razonada la matriz $A$.

Hallar las coordenadas del punto simétrico de $A = (0, -1, 1)$ con respecto a la recta $r$ dada por $$\frac{x - 5}{2} = y = \frac{z - 2}{3}$$ Describir de forma razonada el procedimiento seguido.

Calcular, de manera razonada, la ecuación del plano que contiene a la recta $$r = \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$$ y al punto $P = (0, 2, 5)$.

Estudiar las asíntotas y los extremos de la función $f$ dada por $$f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$$ y trazar un bosquejo de la gráfica de $f$.

De una función $f$ se sabe que es derivable en todo $\mathbb{R}$, que es creciente en $\mathbb{R}$ y que en todos los puntos satisface la desigualdad $f(x) > 0$. Con estos datos ¿se puede demostrar que $h(x) = e^{f(x)} - f(x)$ es creciente en todo $\mathbb{R}$? Razonar la respuesta.

Hallar la integral indefinida $$\int \frac{3x^2 + 8x}{x^2 + 5x + 6} dx$$ explicando el proceso utilizado en el cálculo.

Al comenzar un curso de la Facultad la relación de alumnos entre hombres y mujeres era de $7/8$. Al finalizar el primer cuatrimestre causaron baja 4 hombres y 10 mujeres y con ello la nueva relación de hombres a mujeres es de $12/11$. Calcular el número de hombres y el de mujeres que comenzaron el curso.

En un torneo de baloncesto participan 14 equipos. Todos juegan contra todos a doble vuelta.