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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2011

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuacionesS={λx+2y=3−x+2λz=−13x−y−7z=λ+1S = \begin{cases} \lambda x + 2y = 3 \\ -x + 2\lambda z = -1 \\ 3x - y - 7z = \lambda + 1 \end{cases}Discutir el sistema para los distintos valores de λ\lambda. Si existen casos de indeterminación resolver en dichos casos. Si no existen explicar porqué.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Hallar las coordenadas del punto simétrico de A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1) con respecto a la recta rr dada porx−52=y=z−23\frac{x - 5}{2} = y = \frac{z - 2}{3}Describir de forma razonada el procedimiento seguido.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Estudiar las asíntotas y los extremos de la función ff dada porf(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x - 1}y trazar un bosquejo de la gráfica de ff.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Hallar la integral indefinida∫3x2+8xx2+5x+6dx\int \frac{3x^2 + 8x}{x^2 + 5x + 6} dxexplicando el proceso utilizado en el cálculo.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Al comenzar un curso de la Facultad la relación de alumnos entre hombres y mujeres era de 7/87/8. Al finalizar el primer cuatrimestre causaron baja 4 hombres y 10 mujeres y con ello la nueva relación de hombres a mujeres es de 12/1112/11. Calcular el número de hombres y el de mujeres que comenzaron el curso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
AA es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica la igualdad matricialA⋅(0326)+A⋅(1001)=(1101)A \cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} + A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}Calcular de forma razonada la matriz AA.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcular, de manera razonada, la ecuación del plano que contiene a la rectar={x=1+ty=2−tz=3+2tr = \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}y al punto P=(0,2,5)P = (0, 2, 5).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
De una función ff se sabe que es derivable en todo R\mathbb{R}, que es creciente en R\mathbb{R} y que en todos los puntos satisface la desigualdad f(x)>0f(x) > 0. Con estos datos ¿se puede demostrar que h(x)=ef(x)−f(x)h(x) = e^{f(x)} - f(x) es creciente en todo R\mathbb{R}? Razonar la respuesta.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Trazar un esquema gráfico del recinto del plano limitado por y=9−x2y = 9 - x^2 y por y=−x−3y = -x - 3.
b
Hallar el área del recinto del apartado a) usando cálculo integral.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En un torneo de baloncesto participan 14 equipos. Todos juegan contra todos a doble vuelta.
a
¿Cuántos partidos se han jugado en total?
b
Si el número de equipos fuese NN ¿cuántos partidos se jugarían?
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