Matemáticas II · Navarra 2015

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} ax + y - z = 2 \\ 2ax + (a^2 + 1)y + (a - 1)z = a + 5 \\ ax + a^2y + (a - 2)z = a + 5 \end{cases}$$

Dadas las matrices $A$ y $B$, halla la matriz $X$ que cumple $AX = B$. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Halla los dos puntos de la recta $$r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 3}{1}$$ que están a distancia $\sqrt{17}$ del punto $P \equiv (1, -1, 4)$.

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P \equiv (-1, 1, 2)$ y corta a las rectas $$r_1 \equiv \begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ 2x + y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x - 4}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 4}{1}$$

Dada la función $$f(x) = x \left(\sqrt{2x^2 + 3x + 2}\right)^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{4}$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los siguientes límites:

Dadas las funciones $f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}x)$ y $g(x) = 1 - x$, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.

Comprueba que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2 & \text{si } x \leq 2 \\ 6 - 2x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$. Encuentra sus extremos relativos y absolutos en el intervalo $[-1, 3]$.