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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2015

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{ax+y−z=22ax+(a2+1)y+(a−1)z=a+5ax+a2y+(a−2)z=a+5\begin{cases} ax + y - z = 2 \\ 2ax + (a^2 + 1)y + (a - 1)z = a + 5 \\ ax + a^2y + (a - 2)z = a + 5 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Halla los dos puntos de la rectar≡x−23=y−2=z−31r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 3}{1}que están a distancia 17\sqrt{17} del punto P≡(1,−1,4)P \equiv (1, -1, 4).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=x(2x2+3x+2)cos⁡(π2x)f(x) = x \left(\sqrt{2x^2 + 3x + 2}\right)^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}demuestra que existe un valor α∈(0,2)\alpha \in (0, 2) tal que f′(α)=14f'(\alpha) = \frac{1}{4}. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=cos⁡(π2x)f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}x) y g(x)=1−xg(x) = 1 - x, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices AA y BB, halla la matriz XX que cumple AX=BAX = B.A=(10−11)B=(210012)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que pasa por el punto P≡(−1,1,2)P \equiv (-1, 1, 2) y corta a las rectasr1≡{x−y−z+2=02x+y−z+1=0yr2≡x−41=y−2=z−41r_1 \equiv \begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ 2x + y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x - 4}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 4}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→0(1+x−1−xsen⁡x)\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{\sen x}\right)1 pt
b
lim⁡x→+∞(x+1x+3)x+1\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{x + 1}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Comprueba que la funciónf(x)={x2−2x+2si x≤26−2xsi x>2f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2 & \text{si } x \leq 2 \\ 6 - 2x & \text{si } x > 2 \end{cases}está definida y es continua en todo R\mathbb{R}. Encuentra sus extremos relativos y absolutos en el intervalo [−1,3][-1, 3].
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