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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determinar una función de la forma f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2 y para la cual el punto P(1,2)P(1, 2) sea un punto de inflexión.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=cos⁡(x+π2)f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2})
a
Hacer una representación aproximada de la gráfica de la función f(x)f(x) entre x=0x = 0 y x=2πx = 2\pi.1,25 pts
b
Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x) y el eje OXOX entre x=0x = 0 y x=2πx = 2\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(1k20−11)A = \begin{pmatrix} 1 & k & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(0k1132)B = \begin{pmatrix} 0 & k \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} se pide:
a
Determinar para qué valores de kk la matriz A⋅BA \cdot B tiene inversa.1 pt
b
Resolver la ecuación A⋅B⋅X=3IA \cdot B \cdot X = 3I para k=0k = 0, donde I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la recta r:{3x+y=32x+z=2r: \begin{cases} 3x + y = 3 \\ 2x + z = 2 \end{cases} y el plano π:x−3y−2z=0\pi: x - 3y - 2z = 0
a
Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.1,5 pts
b
Determinar el ángulo que forman recta y plano.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x1−x2f(x) = \frac{x}{1 - x^2}
a
Hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x)f(x) en los que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual a 1.1,5 pts
b
Hallar las asíntotas de la función dada.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x y g(x)=2x−x2g(x) = 2x - x^2
a
Representar el recinto delimitado por sus gráficas, indicando vértices y puntos de corte con los ejes.1,25 pts
b
Calcular el área de dicho recinto.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema:{2x+y−z=1x−2y+z=35x−5y+2z=m\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - 2y + z = 3 \\ 5x - 5y + 2z = m \end{cases}
a
Discutirlo según los valores de mm.1,5 pts
b
Resolverlo para m=10m = 10.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r:x−12=y+13=z−2r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{-2} y s:{x=ty=53+tz=1s: \begin{cases} x = t \\ y = \frac{5}{3} + t \\ z = 1 \end{cases}
a
Estudiar la posición relativa de ambas rectas.1,75 pts
b
Hallar una recta que pasa por el origen de coordenadas y sea perpendicular a rr y ss.0,75 pts
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