Matemáticas II · País Vasco 2018

Determinar el rango de la matriz $A(a)$ según los valores de $a$. $$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a + 1 & 1 \\ a & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Sea $\pi$ el plano de ecuación $x + y + z = 1$, sea $r$ la recta de ecuaciones paramétricas $\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{cases}$ y sea $P$ el punto $(1, 1, 0)$.

Determinar el punto simétrico de $A(-3, 1, -7)$ respecto a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$.

Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.

De la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ se sabe que su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$ y que tiene un extremo en $x = 0$ de valor $1$.

Calcular la siguiente integral indefinida $$\int x^2 e^{-3x} dx$$

La curva $y = 4x^2$ y la curva $y = 4x - x^2$ delimitan un recinto finito del plano. Dibujar dicho recinto y calcular su área.

Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $8$.

Hallar razonadamente el último dígito del número $P = (2018)^{2018} \cdot (3)^{2018}$.