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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2018

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Solamente se podrán usar calculadoras no programables. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN. 1. El examen se valorará con una puntuación entre 0 y 10 puntos. 2. Todos los problemas tienen el mismo valor: hasta 2 puntos. 3. Se valorará el planteamiento correcto, tanto global como de cada una de las partes, si las hubiere. 4. No se tomarán en consideración errores numéricos, de cálculo, etc., siempre que no sean de tipo conceptual. 5. Las ideas, gráficos, presentaciones, esquemas, etc., que ayuden a visualizar mejor el problema y su solución se valorarán positivamente. 6. Se valorará la buena presentación del examen.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Determinar el rango de la matriz A(a)A(a) según los valores de aa.A(a)=(11a+11a0020a20)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a + 1 & 1 \\ a & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a & 2 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea π\pi el plano de ecuación x+y+z=1x + y + z = 1, sea rr la recta de ecuaciones paramétricas {x=1y=tz=t\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{cases} y sea PP el punto (1,1,0)(1, 1, 0).
a
Hallar la ecuación del plano perpendicular a rr y que contenga a PP.0,75 pts
b
Hallar el punto simétrico de PP respecto al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular la siguiente integral indefinida∫x2e−3xdx\int x^2 e^{-3x} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 88.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Discutir el siguiente sistema S(a)S(a) en función de aaS(a)={x+ay−z=22x+y+az=03x+(a+1)y−z=a−1S(a) = \begin{cases} x + ay - z = 2 \\ 2x + y + az = 0 \\ 3x + (a + 1)y - z = a - 1 \end{cases}1,5 pts
b
¿Hay solución para a=1a = 1? En caso afirmativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Determinar el punto simétrico de A(−3,1,−7)A(-3, 1, -7) respecto a la recta rr de ecuaciones paramétricas {x=−1+ty=3+2tz=−1+2t\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = -1 + 2t \end{cases}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
De la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C se sabe que su gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0) y que tiene un extremo en x=0x = 0 de valor 11.
a
Hallar AA, BB y CC.1,5 pts
b
¿El extremo situado en el punto x=0x = 0 es máximo o es mínimo?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La curva y=4x2y = 4x^2 y la curva y=4x−x2y = 4x - x^2 delimitan un recinto finito del plano. Dibujar dicho recinto y calcular su área.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Hallar razonadamente el último dígito del número P=(2018)2018⋅(3)2018P = (2018)^{2018} \cdot (3)^{2018}.
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