Matemáticas II · Navarra 2010

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

Dadas la matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ encuentra la matriz $X$ tal que $$A X B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta que está contenida en el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 4 = 0$ y corta perpendicularmente a la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y - z + 1 = 0 \\ 3x - y + z - 3 = 0 \end{cases}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, 1, 1)$ y corta a las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ 2x + 2y + z = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$$

Calcula los siguientes límites

Demuestra que la función $$f(x) = \sqrt{\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} 2^x\right)}$$ vale $1/2$ en algún punto del intervalo $(0, 1)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \sqrt{\ln (3^x + x) + \ln (x^2 - 10x + 20)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in \{1, 2\}$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = 5 - x$ y $g(x) = \frac{5}{x + 1}$.