Matemáticas II · Extremadura 2021

Demostrar que la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ verifica la ecuación $M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0$ y determinar los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}$ (donde $I$ y $0$ son las matrices $2 \times 2$ identidad y cero).

Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\left. \begin{array}{r c c c} x & - & y & = \lambda \\ x & - & \lambda y & = \lambda \\ \lambda x & - & y & = \lambda \end{array} \right\}.$$

Dados el plano $\Pi \equiv kx + y - z = 0$ y la recta $r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{-1}$.

Sea el plano $\Pi \equiv x + y + z = 1$. Encontrar un plano paralelo a $\Pi$ tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área $2\sqrt{3}$.

Estudiar asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x) = e^{-x^2}$.

Demostrar que las gráficas de las funciones $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen.

Calcular la integral racional $$\int \frac{3x}{x^2 + x - 2} dx.$$

Sean las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$.

Un mecánico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el $40\%$ a la marca A que tiene un $3\%$ de ruedas defectuosas. Y compra el resto a la marca B con un $1\%$ de defectuosas. El mecánico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.

Las notas del examen de Matemáticas II de la EBAU siguen una distribución normal de media $6{,}5$ y desviación típica de $1{,}5$. Se elige al azar un alumno de Matemáticas II de la EBAU: