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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2016

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
María tiene el doble de dinero que Pol y Julia juntos. Pol tiene la sexta parte de dinero que María. Julia tiene el doble de dinero que Pol. María tiene el triple de dinero que Julia.
a
¿Con estos datos, podemos saber cuánto dinero tiene cada uno de ellos? Encuentre el conjunto de soluciones posibles.1,5 pts
b
Si Pol tiene 3535 €, ¿cuánto dinero tienen María y Julia?0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una empresa vende un producto a un precio de pp euros. El número de unidades vendidas depende del precio que fijemos según la función V(p)=30p+10pV(p) = \frac{30p + 10}{p}
a
Demuestre que, al aumentar los precios, las ventas disminuyen.1 pt
b
¿Es posible que la empresa venda 2020 unidades del producto? Si el precio aumenta indefinidamente, ¿qué pasará con las ventas?1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
La fotografía matemática siguiente parece indicar que las patillas de las gafas forman una parábola. Sin embargo, no todas las curvas en forma de «U» son parábolas. Hemos marcado sobre unos ejes de coordenadas algunos de los puntos: (0,2,5)(0, 2{,}5), (1,0)(1, 0), (3,−1)(3, -1) y (5,0)(5, 0). Justifique si la gráfica corresponde a una parábola o no.
Fotografía de unas gafas sobre un papel cuadriculado con puntos marcados en una curva: (0, 2.5), (1, 0), (3, -1) y (5, 0).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
La matriz ampliada de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es (00110−11052−20)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} Justifique, sin resolverlo, si el sistema es incompatible, compatible indeterminado o determinado.1 pt
b
Considere ahora la matriz de otro sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: (2103101211−11)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} Justifique si es incompatible o compatible y, en este último caso, resuélvalo.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere la función f(x)=x+1x2+3f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}.
a
Determine los puntos en los que la función ff corta cada uno de los ejes. Determine también los intervalos donde la función ff es positiva.1 pt
b
Determine los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de ff es horizontal.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere el cuadrilátero de la figura adjunta.
Gráfica de un cuadrilátero sombreado en el plano cartesiano con vértices A=(1,2), B=(2,4), C=(6,6) y D=(2,0).
a
Defina las condiciones que deben cumplir los puntos del cuadrilátero sombreado, incluyendo la frontera.1,5 pts
b
Justifique analíticamente si el punto P=(4,3)P = (4, 3) pertenece al cuadrilátero.0,5 pts
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