Matemáticas II · País Vasco 2025

Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del $2{,}65\%$ respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe “Las cifras del cáncer en España 2024”, elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN). La estimación por edad y sexo es la siguiente: $5{,}56\%$ menores de 45 años, de los cuales el $62{,}86\%$ son mujeres; $59{,}77\%$ mayores de 65 años, de los cuales el $39{,}11\%$ son mujeres; del resto, el $42{,}25\%$ son mujeres.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 3z = 3 + \alpha y \\ z + \alpha x + y - 2 = 0 \\ x + 2z - y = 1 \end{cases}$$

Sea $\alpha$ un número real y $$A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}$$

Halla el punto $P'$ simétrico de $P(4, -3, 0)$ respecto de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2, 0, 1)$ y $B(-2, -1, 0)$.

Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2, 3, 4)$, $B(3, 1, 2)$, $C(5, 1, 2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6, -5, -4)$, $E(7, 1, 4)$.

Sea $f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x - 4}$

Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de $216\pi\,\text{cm}^3$. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.

Calcula las dos integrales siguientes:

Se consideran la parábola de ecuación $y = x^2 - 3x$ y la recta $x + y = 8$.