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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2025

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de 5 partes, de 2,5 cada una. Se debe responder a 4 de ellas, y una pregunta de cada parte. Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del 2,65%2{,}65\% respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe “Las cifras del cáncer en España 2024”, elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN). La estimación por edad y sexo es la siguiente: 5,56%5{,}56\% menores de 45 años, de los cuales el 62,86%62{,}86\% son mujeres; 59,77%59{,}77\% mayores de 65 años, de los cuales el 39,11%39{,}11\% son mujeres; del resto, el 42,25%42{,}25\% son mujeres.
a
Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.0,75 pts
b
Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.0,75 pts
c
Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.0,75 pts
d
Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores.0,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+3z=3+αyz+αx+y−2=0x+2z−y=1\begin{cases} x + 3z = 3 + \alpha y \\ z + \alpha x + y - 2 = 0 \\ x + 2z - y = 1 \end{cases}
a
Discute la existencia de soluciones según los valores del parámetro α\alpha.1,5 pts
b
Si es posible, resuélvelo en el caso α=0\alpha = 0.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Sea α\alpha un número real yA=(1α10110α1)A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}
a
Encuentra los valores del parámetro α\alpha para los que existe la matriz inversa de AA.0,5 pts
b
En el caso particular en que α=0\alpha = 0 calcula, si es posible, A−1A^{-1} y A2025A^{2025}.2 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Halla el punto P′P' simétrico de P(4,−3,0)P(4, -3, 0) respecto de la recta rr que pasa por los puntos A(−2,0,1)A(-2, 0, 1) y B(−2,−1,0)B(-2, -1, 0).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Sean π\pi el plano que pasa por los puntos A(2,3,4)A(2, 3, 4), B(3,1,2)B(3, 1, 2), C(5,1,2)C(5, 1, 2) y rr la recta que pasa por los puntos D(6,−5,−4)D(6, -5, -4), E(7,1,4)E(7, 1, 4).
a
Calcula el ángulo entre el plano π\pi y la recta rr, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.1,5 pts
b
En caso de que rr y π\pi se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta rr y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

Sea f(x)=xx2−3x−4f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x - 4}
a
Encuentra las asíntotas de la función ff.1 pt
b
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff.1 pt
c
Calcula la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de 216π cm3216\pi\,\text{cm}^3. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.
a
Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.1,5 pts
b
Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 €/m23\,€/\text{m}^2. Calcula el coste de imprimación de una taza.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos

Responda a 5A o 5B (solo uno).

Calcula las dos integrales siguientes:
a
∫(2x+5)e2x dx\int (2x + 5) e^{2x}\,dx1,25 pts
b
∫x+7x2+10x+25 dx\int \frac{x + 7}{x^2 + 10x + 25}\,dx1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos

Responda a 5A o 5B (solo uno).

Se consideran la parábola de ecuación y=x2−3xy = x^2 - 3x y la recta x+y=8x + y = 8.
a
Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.1,25 pts
b
Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.1,25 pts
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