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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2022

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro α\alpha: {αx+2y−2z=22x+2y−2z=ααx+2y−z=1\begin{cases} \alpha x + 2y - 2z = 2 \\ 2x + 2y - 2z = \alpha \\ \alpha x + 2y - z = 1 \end{cases} Resuelve el sistema para α=1\alpha = 1, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante ∣abcpqrxyz∣,\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix}, sabiendo que ∣p+aq+br+c2x2y2zp+xq+yr+z∣=6.\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ 2x & 2y & 2z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 6.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea la recta de ecuación: r≡{3x+αy+z=12x+6y−2z=6r \equiv \begin{cases} 3x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 6y - 2z = 6 \end{cases} ¿Existe algún valor de α\alpha para el cual el plano π≡x+y+z=1\pi \equiv x + y + z = 1 contenga a la recta dada? Razona la respuesta.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta: r≡{3x+y+z=0x−y+2z=0r \equiv \begin{cases} 3x + y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases} ¿Existe algún valor de ss tal que el punto (−3,s,s)(-3, s, s) pertenezca a la recta? Razona la respuesta.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función f(x)=2x3−3x+1f(x) = 2x^3 - 3x + 1 que son paralelas a la recta y=3x−2y = 3x - 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)={x2+Ax,si x≤1Bx−A,si x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + Ax, & \text{si } x \leq 1 \\ Bx - A, & \text{si } x > 1 \end{cases}
a)2 pts
Encuentra los valores de AA y BB para que ff sea derivable en toda la recta real.
b)0,5 pts
Haz la representación gráfica de la función ff con los valores de AA y BB obtenidos en el apartado (a).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcula ∫ln⁡(x2−1) dx\int \ln(x^2 - 1) \, dx.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones f(x)=xf(x) = x, g(x)=x/8g(x) = x/8 y h(x)=1x2h(x) = \frac{1}{x^2} y calcula el área de ese recinto.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Una urna SS contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna TT, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?
b)1 pts
Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la TT?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 %60\,\% de los hogares tienen al menos dos coches. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?
b)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?
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