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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. Este examen tiene ocho problemas distribuidos en cuatro bloques. De estos ocho problemas tienes que responder a cuatro, de por lo menos tres bloques diferentes. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no presenten ninguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de trasmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Álgebra
Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función f(x,y)=4x+2y−1f(x, y) = 4x + 2y - 1 en el recinto definido por las siguientes restricciones:{y−x≤4y+2x≥7−2x−y+13≥0x≥0y≥0\begin{cases} y - x \leq 4 \\ y + 2x \geq 7 \\ -2x - y + 13 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}
a
Representa el recinto mencionado.1 pt
b
Obtén los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función, así como los valores de la función en dichos puntos.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sean las matrices A=(2111)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1xx0)B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 0 \end{pmatrix} y C=(0−1−12)C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Encuentra el valor o valores de xx para que se cumpla la igualdad: B2=AB^2 = A0,75 pts
b
Igualmente, para que se cumpla: B+C=A−1B + C = A^{-1}1 pt
c
Determina el valor de xx para que A+B+C=3⋅I2A + B + C = 3 \cdot I_2, donde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} den.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Análisis
a
Asocia, razonadamente, las funciones: A)f(x)=xx2−1A) f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}; B)g(x)=∣x∣xB) g(x) = \frac{|x|}{x}; C)h(x)=x3C) h(x) = \sqrt[3]{x} con las siguientes representaciones gráficas:0,9 pts
Gráfica (1) de una función definida a trozos constante
Gráfica (2) de una función continua creciente
Gráfica (3) de una función con asíntotas verticales
b
En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio y recorrido de la función.1,6 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
La velocidad que lleva un patinete v(t)v(t), en función del tiempo tt, viene dada por la siguiente función:v(t)={7t2si 0≤t<12t+asi 1≤t≤5−t2+12t+bsi 5<t≤10v(t) = \begin{cases} 7t^2 & \text{si } 0 \leq t < 1 \\ 2t + a & \text{si } 1 \leq t \leq 5 \\ -t^2 + 12t + b & \text{si } 5 < t \leq 10 \end{cases}
a
Determina los valores de aa y bb para que la función v(t)v(t) sea continua en los instantes t=1t = 1 y t=5t = 5.0,8 pts
b
Para a=5a = 5 y b=−20b = -20, ¿en qué momento el patinete alcanza la velocidad máxima? Concreta la velocidad máxima mencionada.1 pt
c
En el caso a=5a = 5 y b=−20b = -20, realiza la representación gráfica de la función.0,7 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Probabilidad
Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.
a
Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.0,5 pts
b
Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.1,25 pts
c
Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7. Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a
Ambas han encestado.0,75 pts
b
Ninguna ha encestado.0,75 pts
c
Sólo Deiene ha encestado.0,5 pts
d
Al menos una ha encestado.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Inferencia estadística
La temperatura en un determinado mes sigue una distribución normal de media 10 grados y de varianza 16 grados2^2.
a
Obtén el intervalo característico para el 80%.0,9 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día sea superior a 11∘C11^{\circ}\text{C}?0,3 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día esté entre 8∘8^{\circ} y 10∘10^{\circ}?0,6 pts
d
¿Cuál es la proporción de días con más de 9∘9^{\circ}?0,3 pts
e
Si consideramos un mes de 30 días, ¿en cuántos días la temperatura ha sido inferior a 12∘C12^{\circ}\text{C}?0,4 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores:xˉ=52,5 kg y s=5,3 kg\bar{x} = 52{,}5\,\text{kg} \text{ y } s = 5{,}3\,\text{kg}Hemos hecho la siguiente afirmación: “El peso medio de las chicas de 16 años de esta ciudad está entre 51 kg y 54 kg”.
a
¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?2,5 pts
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