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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2017

4 ejercicios

Instrucciones

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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{x+(a−1)y+z=−1(a−1)y+2z=−2x+(a2−5a+5)z=−a+4\begin{cases} x + (a - 1) y + z = - 1 \\ (a - 1) y + 2 z = - 2 \\ x + (a^2 - 5a + 5) z = - a + 4 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados el punto P≡(1,−1,0)P \equiv (1, -1, 0) y las rectasr≡{2x−y−2z+1=03x−y−4z+6=0ys≡x−11=y0=z+11r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2z + 1 = 0 \\ 3x - y - 4z + 6 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z + 1}{1}halla la ecuación general de un plano π\pi que sea paralelo a ambas rectas y tal que la distancia de PP a π\pi sea 22.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(2x2+3x+1−2x2−5x+7)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x^2 + 3x + 1} - \sqrt{2x^2 - 5x + 7})1 pt
b
lim⁡x→1(cos⁡(πx)+2x)1ln⁡x\lim_{x \to 1} (\cos(\pi x) + 2^x)^{\frac{1}{\ln x}}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que la función f(x)=sen⁡(πx2)x2+xf(x) = \sen\left(\frac{\pi x}{2}\right) \sqrt{x^2 + x} tiene un máximo relativo en el intervalo (1,3)(1, 3). Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula los valores del parámetro tt para los que la siguiente matriz no es regular:A=(−tt+1−t+110−t+12−t−11)A = \begin{pmatrix} -t & t + 1 & -t + 1 \\ 1 & 0 & -t + 1 \\ 2 & -t - 1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P≡(−4,2,0)P \equiv (-4, 2, 0) y corta a las rectasr1≡{2x+3y+z−1=0x+2y−3=0yr2≡x+1−2=y+33=z+23r_1 \equiv \begin{cases} 2x + 3y + z - 1 = 0 \\ x + 2y - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 2}{3}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Encuentra los extremos absolutos de la función f(x)=(x2−3)e−x+2f(x) = (x^2 - 3) e^{-x + 2} en el intervalo [−2,4][-2, 4]. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=cos⁡πx4f(x) = \cos \frac{\pi x}{4} y ϕ(x)=x24−1\phi(x) = \frac{x^2}{4} - 1. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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