Matemáticas II · Navarra 2017

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + (a - 1) y + z = - 1 \\ (a - 1) y + 2 z = - 2 \\ x + (a^2 - 5a + 5) z = - a + 4 \end{cases}$$

Calcula los valores del parámetro $t$ para los que la siguiente matriz no es regular: $$A = \begin{pmatrix} -t & t + 1 & -t + 1 \\ 1 & 0 & -t + 1 \\ 2 & -t - 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Dados el punto $P \equiv (1, -1, 0)$ y las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2z + 1 = 0 \\ 3x - y - 4z + 6 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z + 1}{1}$$ halla la ecuación general de un plano $\pi$ que sea paralelo a ambas rectas y tal que la distancia de $P$ a $\pi$ sea $2$.

Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (-4, 2, 0)$ y corta a las rectas $$r_1 \equiv \begin{cases} 2x + 3y + z - 1 = 0 \\ x + 2y - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 2}{3}$$

Calcula los siguientes límites:

Encuentra los extremos absolutos de la función $f(x) = (x^2 - 3) e^{-x + 2}$ en el intervalo $[-2, 4]$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Demuestra que la función $f(x) = \sen\left(\frac{\pi x}{2}\right) \sqrt{x^2 + x}$ tiene un máximo relativo en el intervalo $(1, 3)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = \cos \frac{\pi x}{4}$ y $\phi(x) = \frac{x^2}{4} - 1$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.