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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2026

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3; elige entre la 4.1 y la 4.2, y entre la 5.1 y la 5.2. En el apartado b de la pregunta 3, elige b1 o b2.
Puntuación
Cada pregunta vale 2 puntos.
Además
Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
El 85 %85\,\% de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 %75\,\% de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 %5\,\% de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.
a
Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora.1 pt
b
Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 88 y altura 22, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OYOY e OXOX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y=2−x3y = 2 - \sqrt[3]{x} que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se consideran las matrices:A=(101010021),A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},B=(2−110−1−2),B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix},C=(100−1100−11).C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Resuelva la ecuación matricial: AX+X=BAX + X = B.1 pt
b
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:1 pt
Elige una
Calcule el determinante de la matriz (2C)100(2C)^{100} aplicando propiedades de los determinantes.
Justifique si las matrices AA y ABAB son invertibles.
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sean las rectas r1≡(x,y,z)=(1+t,1,0)r_1 \equiv (x, y, z) = (1 + t, 1, 0) y r2≡(x,y,z)=(1+s,s,0)r_2 \equiv (x, y, z) = (1 + s, s, 0), t,s∈Rt, s \in \mathbb{R}.
a
Estudie la posición relativa de las rectas r1r_1 y r2r_2.1 pt
b
Halle una recta r3r_3 tal que las intersecciones de r1r_1, r2r_2 y r3r_3 formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en r2r_2 y tenga longitud 2\sqrt{2}.1 pt
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Se consideran el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1) y el plano de ecuación 2x−2y+z=12x - 2y + z = 1. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto PP.
a
Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen.1 pt
b
Halle otro vértice del cubo.1 pt
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Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sea la funciónf(x)=xln⁡(x).f(x) = \frac{x}{\ln(x)}.Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Halle el valor real aa tal que∫0π3(x−a)sen⁡(3x)dx=2π9.\int_0^{\frac{\pi}{3}} (x - a)\operatorname{sen}(3x)dx = \frac{2\pi}{9}.
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