Matemáticas CCSS · Baleares 2010

Considerad el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x = 1 \\ -x + 2y + 3z = 2 \\ y + 2z = 3 \end{cases}$$

Las alturas de tres chicos que se llaman Marc, Pau y Navarro están relacionadas como sigue. Si la altura de Marc aumenta el triple de la diferencia de las alturas de Pau y de Navarro, Marc sería igual de alto que Navarro. Las alturas de los tres suman $515$ centímetros. Ocho veces la altura de Pau equivale a 9 veces la altura de Marc.

Cierta persona dispone de $60.000$ € como máximo para repartir entre dos tipos de inversión $A$ y $B$, sabiendo que el rendimiento de la inversión será del $9\%$ en la opción $A$ y del $12\%$ en la $B$. En la opción $A$ desea invertir entre $12.000$ € y $42.000$ €. Además, quiere destinar a esta opción tanto dinero, al menos, como a la $B$.

Dibujad la región determinada por las inequaciones $$x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad 3x + 2y \leq 30, \quad 3x + 4y \leq 48, \quad 30x + 10y \leq 240$$

En una noche y la mañana siguiente, la temperatura $T$ (en grados centígrados) de una cierta región varía con el tiempo $t$ según la función $$T(t) = t^2 - 9t + 8, \quad 0 \leq t \leq 12$$

Se considera la función logística dada por $$S(x) = \frac{1200}{1 + 30 \cdot e^{-0{,}9x}}$$

En una bolsa tenemos tres dados iguales, salvo el color de las caras. El dado $D_1$ tiene cuatro caras blancas y dos rojas, el dado $D_2$ tiene dos caras blancas y cuatro rojas, y el dado $D_3$ tiene tres caras blancas y tres rojas. Es extraído al azar uno de los tres dados y lanzado al aire. Sabiendo que la cara girada hacia arriba ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que el dado elegido haya sido $D_1$? ¿Cuál la probabilidad de que haya sido elegido $D_2$? ¿Cuál la probabilidad de que haya sido elegido $D_3$?

La Concejalía de Juventud de un ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de los padres es una normal con media $29$ años y desviación típica $3$ años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí que se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayuntamiento. Así, de un estudio reciente sobre $100$ jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de $28{,}1$ años de edad. Con un nivel de significación del $1\%$, ¿puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a la afirmación de que sí lo ha hecho, como parece que indican los datos? Plantead el contraste o test de hipótesis y resolvedlo.