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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerad el sistema de ecuaciones{x=1−x+2y+3z=2y+2z=3 \begin{cases} x = 1 \\ -x + 2y + 3z = 2 \\ y + 2z = 3 \end{cases}
a
Expresadlo en forma matricial A⋅X=BA \cdot X = B, donde AA es la matriz del sistema, XX la matriz de las incógnitas y BB la matriz de los términos independientes.2 pts
b
Calculad la matriz inversa de AA, A−1A^{-1}.5 pts
c
Resolved la ecuación matricial A⋅X=BA \cdot X = B.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Cierta persona dispone de 60.00060.000 € como máximo para repartir entre dos tipos de inversión AA y BB, sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9%9\% en la opción AA y del 12%12\% en la BB. En la opción AA desea invertir entre 12.00012.000 € y 42.00042.000 €. Además, quiere destinar a esta opción tanto dinero, al menos, como a la BB.
a
¿Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantea el problema como un problema de programación lineal y representa gráficamente su conjunto factible de soluciones.8 pts
b
¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá?2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
En una noche y la mañana siguiente, la temperatura TT (en grados centígrados) de una cierta región varía con el tiempo tt según la funciónT(t)=t2−9t+8,0≤t≤12T(t) = t^2 - 9t + 8, \quad 0 \leq t \leq 12
a
¿Qué temperatura había a las 2 de la mañana?1 pt
b
¿Cuál fue la temperatura máxima?4 pts
c
¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0 horas a las 12 horas?3 pts
d
¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados?2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una bolsa tenemos tres dados iguales, salvo el color de las caras. El dado D1D_1 tiene cuatro caras blancas y dos rojas, el dado D2D_2 tiene dos caras blancas y cuatro rojas, y el dado D3D_3 tiene tres caras blancas y tres rojas. Es extraído al azar uno de los tres dados y lanzado al aire. Sabiendo que la cara girada hacia arriba ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que el dado elegido haya sido D1D_1? ¿Cuál la probabilidad de que haya sido elegido D2D_2? ¿Cuál la probabilidad de que haya sido elegido D3D_3?
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Las alturas de tres chicos que se llaman Marc, Pau y Navarro están relacionadas como sigue. Si la altura de Marc aumenta el triple de la diferencia de las alturas de Pau y de Navarro, Marc sería igual de alto que Navarro. Las alturas de los tres suman 515515 centímetros. Ocho veces la altura de Pau equivale a 9 veces la altura de Marc.
a
Plantead un sistema de ecuaciones para averiguar la altura de Marc, de Pau y de Navarro.6 pts
b
Resolved el sistema de ecuaciones y, por tanto, el problema.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dibujad la región determinada por las inequacionesx≥0,y≥0,3x+2y≤30,3x+4y≤48,30x+10y≤240x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad 3x + 2y \leq 30, \quad 3x + 4y \leq 48, \quad 30x + 10y \leq 240
a
Dibujad la región determinada por las inequaciones.8 pts
b
Maximizad la función F(x,y)=x+yF(x, y) = x + y, sometida a las restricciones dadas por estas inequaciones.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se considera la función logística dada porS(x)=12001+30⋅e−0,9xS(x) = \frac{1200}{1 + 30 \cdot e^{-0{,}9x}}
a
Calculad, si es que existen, las asíntotas horizontales.4 pts
b
Calculad, si es que existen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos.6 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
La Concejalía de Juventud de un ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de los padres es una normal con media 2929 años y desviación típica 33 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí que se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayuntamiento. Así, de un estudio reciente sobre 100100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28,128{,}1 años de edad. Con un nivel de significación del 1%1\%, ¿puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a la afirmación de que sí lo ha hecho, como parece que indican los datos? Plantead el contraste o test de hipótesis y resolvedlo.
Datos
  • F(z)=P(X≤z)=∫−∞z12πe−12t2dtF(z) = P(X \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
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