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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN. El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos cada una. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen sólo se tendrán en cuenta las cinco primeras preguntas respondidas. Se seguirá el orden en el que las respuestas aparezcan desarrolladas por el estudiante. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el siguiente lugar. Justificar las respuestas y las soluciones.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la matriz A=(0211)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Estudiar el rango de la matriz A−λIA - \lambda I según los valores de λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, donde II es la matriz identidad de orden 2×22 \times 2.1,5 pts
b
Para λ=2\lambda = 2 solucionar el sistema AX=λXAX = \lambda X, donde X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Discutir en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}, el sistema lineal de ecuaciones:{4x+y−2az=aax−y+z=0y−az=−1\begin{cases} 4x + y - 2az = a \\ ax - y + z = 0 \\ y - az = -1 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados los puntos A=(0,0,2)A = (0, 0, 2) y B=(1,1,0)B = (1, 1, 0) y la recta r:{x=1y=zr : \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}. Calcular un punto P∈rP \in r para que el triángulo ABPABP tenga un ángulo recto en el punto AA.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean las rectas: r:{x=2−2yy=zr : \begin{cases} x = 2 - 2y \\ y = z \end{cases} y s:x−12=y−31=z+1−2s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{-2}.
a
Estudiar la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
b
Calcular la distancia entre las dos rectas.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la función f(x)=x31−x2f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}
a
Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de f(x)f(x).1,5 pts
b
Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función f(x)=x−ln⁡(x2+1)f(x) = x - \ln(x^2 + 1).
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Calcular la integral ∫1x3−xdx\int \frac{1}{x^3 - x} dx.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Hallar el parámetro positivo a∈Ra \in \mathbb{R} tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=axg(x) = ax sea 4/34/3.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
El 50 %50\,\% de los alumnos de la UEX practica “running” y el 30 %30\,\% monta en bicicleta. Además, se sabe que el 70 %70\,\% de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:
a
La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes.0,75 pts
b
Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running?0,75 pts
c
¿Son independientes los sucesos “Practicar running” y “Practicar montar en bicicleta”?0,5 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media 2,5 cm2{,}5\,\text{cm} y desviación típica 0,2 cm0{,}2\,\text{cm}.
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal con el área sombreada bajo la curva hasta un valor z.
a
Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 %10\,\% de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas?1 pt
b
Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm2{,}2\,\text{cm} y 2,8 cm2{,}8\,\text{cm}?1 pt
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