Matemáticas II · Extremadura 2022

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Discutir en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones: $$\begin{cases} 4x + y - 2az = a \\ ax - y + z = 0 \\ y - az = -1 \end{cases}$$

Dados los puntos $A = (0, 0, 2)$ y $B = (1, 1, 0)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$. Calcular un punto $P \in r$ para que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en el punto $A$.

Sean las rectas: $r : \begin{cases} x = 2 - 2y \\ y = z \end{cases}$ y $s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{-2}$.

Dada la función $$f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}$$

Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$.

Calcular la integral $\int \frac{1}{x^3 - x} dx$.

Hallar el parámetro positivo $a \in \mathbb{R}$ tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = ax$ sea $4/3$.

El $50\,\%$ de los alumnos de la UEX practica “running” y el $30\,\%$ monta en bicicleta. Además, se sabe que el $70\,\%$ de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:

El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media $2{,}5\,\text{cm}$ y desviación típica $0{,}2\,\text{cm}$.