Matemáticas II · Andalucía 2022

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{a \sen(x) + x \ln(x + 1) + b x^2}{x^3 + x^2} = 2$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Sea $f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = e^x (\cos(x) + \sen(x))$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3 - x$. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función $f$ y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa $x = 0$.

Calcula $\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1 + x}$.)

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de $13000$ personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos $A(0, 2, 3)$, $B(m, 0, 1)$ y $C(2, 1, 2)$.

Considera el punto $P(2, 0, -4)$ y el plano $\pi \equiv \begin{cases} x = 9\alpha + 3\beta \\ y = -1 + 2\alpha \\ z = 3 + 4\alpha + \beta \end{cases}$