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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022ExtraordinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Calcula aa y bb sabiendo que lim⁡x→0asen⁡(x)+xln⁡(x+1)+bx2x3+x2=2\lim_{x \to 0} \frac{a \sen(x) + x \ln(x + 1) + b x^2}{x^3 + x^2} = 2 (donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea f:[0,2π]→Rf: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=ex(cos⁡(x)+sen⁡(x))f(x) = e^x (\cos(x) + \sen(x)).
a
Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).2 pts
b
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=3π2x = \frac{3\pi}{2}.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función ff y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Calcula ∫03x1+xdx\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=1+xt = \sqrt{1 + x}.)
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 1300013000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las matrices A=(m131m21m3)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} y B=(2210−12)B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Calcula el rango de la matriz AA según los valores de mm.1 pt
b
Para m=0m = 0 resuelve la ecuación AX=BAX = B, si es posible.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0,2,3)A(0, 2, 3), B(m,0,1)B(m, 0, 1) y C(2,1,2)C(2, 1, 2).
a
Halla los valores de mm, sabiendo que el área del triángulo es 182\frac{\sqrt{18}}{2} unidades cuadradas.1,5 pts
b
Para m=0m = 0, calcula el coseno del ángulo en el vértice AA de dicho triángulo.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el punto P(2,0,−4)P(2, 0, -4) y el plano π≡{x=9α+3βy=−1+2αz=3+4α+β\pi \equiv \begin{cases} x = 9\alpha + 3\beta \\ y = -1 + 2\alpha \\ z = 3 + 4\alpha + \beta \end{cases}
a
Halla el punto simétrico del punto PP respecto del plano π\pi.1,75 pts
b
Calcula la distancia del punto PP al plano π\pi.0,75 pts
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