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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=ex(x2−5x+6)f(x) = e^x (x^2 - 5x + 6). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0πxsen⁡2(x)dx\int_0^\pi x \operatorname{sen}^2(x) dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones dado por AX=BAX = B siendo A=(1−21m4−20m+2−3),X=(xyz) y B=(22m1). A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}.
a)1,5 pts
Discute el sistema según los valores de mm.
b)1 pts
Para m=−2m = -2, ¿existe alguna solución con z=0z = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π≡x−y+az=0\pi \equiv x - y + az = 0 y la recta r≡{4x−3y+4z=13x−2y+z=0r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Halla aa sabiendo que π\pi es paralelo a rr.
b)1 pts
Determina el plano perpendicular a rr que pasa por el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la función derivable f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)={e2ax−4bsi x<11−xln⁡xsi x≥1 f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a)1,75 pts
Determina los valores de aa y bb.
b)0,75 pts
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x∣f(x) = |x| y g(x)=x2−2g(x) = x^2 - 2.
a)1 pts
Calcula los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Esboza el recinto que determinan.
b)1,5 pts
Determina el área del recinto anterior.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera A=(123002011)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a)1,25 pts
Halla los valores de λ\lambda tales que ∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0, donde II es la matriz identidad de orden 3.
b)1,25 pts
Para λ=1\lambda = 1, resuelve el sistema dado por (A−λI)X=0(A - \lambda I)X = 0. ¿Existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera el plano π≡x−y+z=2\pi \equiv x - y + z = 2 y la recta r≡x2=y+11=z+2−1r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}.
a)1 pts
Calcula la distancia entre rr y π\pi.
b)1,5 pts
Halla la ecuación general del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.
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