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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
- Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde existaf(x)={1+sen⁡2x,si x≤0x3+1,si 0<x<1ex2−1,si x≥1f(x) = \begin{cases} 1 + \sen^2 x, & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{x^3 + 1}, & \text{si } 0 < x < 1 \\ e^{x^2 - 1}, & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular las siguientes integrales:
a
∫x⋅ln⁡x dx\int x \cdot \ln x \, dx1 pt
b
∫023x2+4 dx\int_{0}^{2} \frac{3}{x^2 + 4} \, dx1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las matrices A=(−10131−1210)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(2−110132−21)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}
a
Resolver el sistema {2X−3Y=A3X+4Y=B\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X + 4Y = B \end{cases}1 pt
b
Calcular el rango de M=A⋅BM = A \cdot B1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados la recta r:x−23=y−1=z−12r : \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2} y el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3)
a
Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene.1 pt
b
Hallar ecuaciones, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, correspondientes a la recta que pasa por PP y es perpendicular al plano anterior.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Indicar, para una función f(x)f(x), sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los valores de xx que corresponden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de concavidad y de convexidad, sabiendo que su función derivada tiene la siguiente gráfica:
Datos
  • a=−1,33a = -1{,}33
  • b=3,33b = 3{,}33
Gráfica de la función derivada f'(x) con extremos relativos en a = -1,33 y b = 3,33.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones y=−x2+4xy = -x^2 + 4x y y=2x2−2xy = 2x^2 - 2x
a
Representar la región que determinan sus gráficas.1,5 pts
b
Calcular el área de dicha región.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema {ax−3y+az=13x+2y=1x−y+z=−1\begin{cases} ax - 3y + az = 1 \\ 3x + 2y = 1 \\ x - y + z = -1 \end{cases}
a
Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro aa.1,75 pts
b
Resolverlo cuando sea compatible.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas secantes r:x−2−1=y−52=z−11r : \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{1} y s:(x,y,z)=(1,−1,0)+λ(−1,6,2)s : (x, y, z) = (1, -1, 0) + \lambda(-1, 6, 2)
a
Calcular su punto de intersección.1,75 pts
b
Hallar ecuación del plano que las contiene.0,75 pts
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