Matemáticas II · Navarra 2018

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + (a + 4)y + (a + 1)z = 0 \\ -(a + 2)y + (a^2 + 3a + 2)z = a + 4 \end{cases}$$

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{pmatrix}$ tal que $|A| = -1$. Calcula el determinante de la matriz $A^2 \cdot B^t$ siendo $B = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 2a - x & 2b - y & 2c - z \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{pmatrix}$

Sean los puntos $P \equiv (7, 4, 2)$, $Q \equiv (1, 2, -2)$ y $R \equiv (2, 1, -3)$. Uno de ellos es el centro de un rombo, y los otros dos, dos vértices. Halla los dos vértices restantes.

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (-4, 0, 5)$ y corta a las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ x + y + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Demuestra que existe $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$, siendo $$f(x) = \cos(\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Halla las asíntotas (no es necesario hacer el estudio de la posición de la curva respecto a ellas) y los extremos relativos de la función $$y = \frac{2x^2 + 6}{x - 1}$$

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 3x$ y $g(x) = \begin{cases} x & x \leq 2 \\ 3 - x & x > 2 \end{cases}$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.