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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza una de las dos opciones, A o B. Se debe responder exclusivamente a las preguntas de una de las dos opciones (A o B). Si alguien responde a cuestiones de las dos opciones, la nota final será la peor de las dos puntuaciones obtenidas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{x+2y=1x+(a+4)y+(a+1)z=0−(a+2)y+(a2+3a+2)z=a+4\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + (a + 4)y + (a + 1)z = 0 \\ -(a + 2)y + (a^2 + 3a + 2)z = a + 4 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean los puntos P≡(7,4,2)P \equiv (7, 4, 2), Q≡(1,2,−2)Q \equiv (1, 2, -2) y R≡(2,1,−3)R \equiv (2, 1, -3). Uno de ellos es el centro de un rombo, y los otros dos, dos vértices. Halla los dos vértices restantes.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫ecos⁡3xsen⁡3x dx\int e^{\cos 3x} \sen 3x \, dx1 pt
b
∫sen⁡2x1+cos⁡2x dx\int \frac{\sen 2x}{1 + \cos^2 x} \, dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Halla las asíntotas (no es necesario hacer el estudio de la posición de la curva respecto a ellas) y los extremos relativos de la funcióny=2x2+6x−1y = \frac{2x^2 + 6}{x - 1}
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la matriz A=(−112abcxyz)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{pmatrix} tal que ∣A∣=−1|A| = -1. Calcula el determinante de la matriz A2⋅BtA^2 \cdot B^t siendo B=(xyz2a−x2b−y2c−za+1b−1c−2)B = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 2a - x & 2b - y & 2c - z \\ a + 1 & b - 1 & c - 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P≡(−4,0,5)P \equiv (-4, 0, 5) y corta a las rectasr≡{x+y+z−1=0x+y+1=0ys≡x−22=y−31=z1r \equiv \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ x + y + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(2,3)\alpha \in (2, 3) tal que f(α)=−32f(\alpha) = -\frac{3}{2}, siendof(x)=cos⁡(πx)x3−2x2−13f(x) = \cos(\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=−x2+3xf(x) = -x^2 + 3x y g(x)={xx≤23−xx>2g(x) = \begin{cases} x & x \leq 2 \\ 3 - x & x > 2 \end{cases}. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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