Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2026

4 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo: 90 minutos.
Qué responder: Responde a los cuatro ejercicios. En el 3, elige entre 3.1 y 3.2; en el 4, entre 4.1 y 4.2.
Puntuación: Los ejercicios 1 y 4 valen 3 puntos cada uno; los ejercicios 2 y 3, 2 puntos cada uno.
Material: Calculadora científica no programable, no gráfica y sin capacidad de almacenar o transmitir datos.
Además: Todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

3 puntos

Resuelve los apartados a) y b):

Según los resultados obtenidos de una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el

80\%

de los alumnos de cierta universidad está suscrito a una plataforma musical, el

60\%

lo está a una de video y, además, el

90\%

tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:1 pt

1 pt

a.1

Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.

a.2

Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.

El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media

\mu

y desviación típica

60

gramos.2 pts

2 pts

b.1

Se toma una muestra aleatoria de

36

quesos obteniéndose una media muestral de

980

gramos. Calcula un intervalo de confianza al

97\%

para estimar

\mu

b.2

Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar

\mu

, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de

10

gramos.

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2 puntos

En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas

A

B

. Para fabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda

A

requiere de

3

horas de corte y

2

de costura; cada prenda

B

, de

1

4

horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de

15

horas para el corte y de

20

horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de

A

son de

100\,\text{€}

y por cada una de

B

120\,\text{€}

. Se pide:

Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.0,5 pts

0,5 pts

Representa la región factible

S

.0,5 pts

0,5 pts

Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región

S

.0,5 pts

0,5 pts

Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.0,5 pts

0,5 pts

Ver este ejercicio

3.1o3.2

2 puntos

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2):

Dada la matriz

M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}

a

: número real. Se pide:

Calcula el valor de “

a

” para que se cumpla:

M^2 = I

. Para ese valor de “

a

”, calcula la matriz inversa de

M

y halla

M^{21}

.1 pt

1 pt

Para

a = 1

: calcula una matriz

X

que verifique la igualdad:

M\cdot X + M^{\mathrm{T}} = 2\,I

. (

I

representa la matriz identidad orden

2

M^{\mathrm{T}}

la matriz traspuesta de

M

)1 pt

1 pt

Ver este ejercicio

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2):

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}

, se pide:

Calcula

A^2

y calcula el determinante de la matriz inversa de

A

.0,75 pts

0,75 pts

Calcula una matriz

X

que verifique la igualdad:

X\cdot A = B^{\mathrm{T}} + I

. (

B^{\mathrm{T}}

: matriz traspuesta de

B

I

: matriz identidad orden

3

)1,25 pts

1,25 pts

Ver este ejercicio

4.1o4.2

3 puntos

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2):

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en

\text{mg/l}

) viene modelada por la función:

\begin{aligned}&C(x) = \frac{a\,x}{x^2 + 4},\qquad x > 0,\\&\quad (a\text{: número real})\end{aligned}

siendo “

x

” el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

Calcula el valor de “

a

” sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas

4

horas es de

0{,}20\,\text{mg/l}

. Calcula

\lim_{x\to +\infty} C(x)

e interpreta el resultado sabiendo lo que representan

x

C(x)

.0,75 pts

0,75 pts

Para

a = 1

: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.1,25 pts

1,25 pts

Calcula el valor de “

a

” para que se verifique la igualdad:

\int_1^2 (x^2 + 4)\,C(x)\,\mathrm{d}x = 6.

1 pt

Ver este ejercicio

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2):

Dada la función

f(x) = \frac{a\,x^2 + b}{x^3}

(

a

b

: números reales), se pide:

Calcula los valores de “

a

” y “

b

” sabiendo que la gráfica de

f

pasa por el punto

P = (1, 3)

y que la recta tangente a esta curva en

P

es paralela a la recta de ecuación

y = -5x + 2

.1 pt

1 pt

Para

b = 4

, calcula el valor de “

a

” para que la función posea un extremo relativo en

x = 2

. Para este valor de “

a

”, indica si en

x = 2

la función alcanza un máximo o un mínimo relativo.1 pt

1 pt

Para

a = 2

, calcula el valor de “

b

” para que se verifique la igualdad:

\int_1^3 x^4\,f(x)\,\mathrm{d}x = 12.

1 pt

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Tabla. Distribución normal tipificada.

z

$z$	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	$,5000$	$,5040$	$,5080$	$,5120$	$,5160$	$,5199$	$,5239$	$,5279$	$,5319$	$,5359$
0,1	$,5398$	$,5438$	$,5478$	$,5517$	$,5557$	$,5596$	$,5636$	$,5675$	$,5714$	$,5753$
0,2	$,5793$	$,5832$	$,5871$	$,5910$	$,5948$	$,5987$	$,6026$	$,6064$	$,6103$	$,6141$
0,3	$,6179$	$,6217$	$,6255$	$,6293$	$,6331$	$,6368$	$,6406$	$,6443$	$,6480$	$,6517$
0,4	$,6554$	$,6591$	$,6628$	$,6664$	$,6700$	$,6736$	$,6772$	$,6808$	$,6844$	$,6879$
0,5	$,6915$	$,6950$	$,6985$	$,7019$	$,7054$	$,7088$	$,7123$	$,7157$	$,7190$	$,7224$
0,6	$,7257$	$,7291$	$,7324$	$,7357$	$,7389$	$,7422$	$,7454$	$,7486$	$,7517$	$,7549$
0,7	$,7580$	$,7611$	$,7642$	$,7673$	$,7704$	$,7734$	$,7764$	$,7794$	$,7823$	$,7852$
0,8	$,7881$	$,7910$	$,7939$	$,7967$	$,7995$	$,8023$	$,8051$	$,8078$	$,8106$	$,8133$
0,9	$,8159$	$,8186$	$,8212$	$,8238$	$,8264$	$,8289$	$,8315$	$,8340$	$,8365$	$,8389$
1,0	$,8413$	$,8438$	$,8461$	$,8485$	$,8508$	$,8531$	$,8554$	$,8577$	$,8599$	$,8621$
1,1	$,8643$	$,8665$	$,8686$	$,8708$	$,8729$	$,8749$	$,8770$	$,8790$	$,8810$	$,8830$
1,2	$,8849$	$,8869$	$,8888$	$,8907$	$,8925$	$,8944$	$,8962$	$,8980$	$,8997$	$,9015$
1,3	$,9032$	$,9049$	$,9066$	$,9082$	$,9099$	$,9115$	$,9131$	$,9147$	$,9162$	$,9177$
1,4	$,9192$	$,9207$	$,9222$	$,9236$	$,9251$	$,9265$	$,9279$	$,9292$	$,9306$	$,9319$
1,5	$,9332$	$,9345$	$,9357$	$,9370$	$,9382$	$,9394$	$,9406$	$,9418$	$,9429$	$,9441$
1,6	$,9452$	$,9463$	$,9474$	$,9484$	$,9495$	$,9505$	$,9515$	$,9525$	$,9535$	$,9545$
1,7	$,9554$	$,9564$	$,9573$	$,9582$	$,9591$	$,9599$	$,9608$	$,9616$	$,9625$	$,9633$
1,8	$,9641$	$,9649$	$,9656$	$,9664$	$,9671$	$,9678$	$,9686$	$,9693$	$,9699$	$,9706$
1,9	$,9713$	$,9719$	$,9726$	$,9732$	$,9738$	$,9744$	$,9750$	$,9756$	$,9761$	$,9767$
2,0	$,9772$	$,9778$	$,9783$	$,9788$	$,9793$	$,9798$	$,9803$	$,9808$	$,9812$	$,9817$
2,1	$,9821$	$,9826$	$,9830$	$,9834$	$,9838$	$,9842$	$,9846$	$,9850$	$,9854$	$,9857$
2,2	$,9861$	$,9864$	$,9868$	$,9871$	$,9875$	$,9878$	$,9881$	$,9884$	$,9887$	$,9890$
2,3	$,9893$	$,9896$	$,9898$	$,9901$	$,9904$	$,9906$	$,9909$	$,9911$	$,9913$	$,9916$
2,4	$,9918$	$,9920$	$,9922$	$,9925$	$,9927$	$,9929$	$,9931$	$,9932$	$,9934$	$,9936$
2,5	$,9938$	$,9940$	$,9941$	$,9943$	$,9945$	$,9946$	$,9948$	$,9949$	$,9951$	$,9952$
2,6	$,9953$	$,9955$	$,9956$	$,9957$	$,9959$	$,9960$	$,9961$	$,9962$	$,9963$	$,9964$
2,7	$,9965$	$,9966$	$,9967$	$,9968$	$,9969$	$,9970$	$,9971$	$,9972$	$,9973$	$,9974$

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Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3.1 o 3.2

Ejercicio 4.1 o 4.2

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