Matemáticas II · Andalucía 2019

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, calcula las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $$f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 0)$.

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = xe^{-x^2}$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ (m + 2)x + y - z = m \\ 3x + (m + 2)y + z = m \end{cases}$$

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Se consideran los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2, -1)$ y $\vec{w} = (2, \alpha, \beta)$, donde $\alpha$ y $\beta$ son números reales.

Considera las rectas $r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{2}$ y $s \equiv \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$.