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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=6−16x2f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2, calcula las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de ff y la recta y=0y = 0.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} sabiendo que es derivable, que su función derivada cumplef′(x)=ln⁡(x)xf'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}(ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de ff pasa por el punto (1,0)(1, 0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+y+2z=0(m+2)x+y−z=m3x+(m+2)y+z=m\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ (m + 2)x + y - z = m \\ 3x + (m + 2)y + z = m \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Resuelve el sistema, si es posible, para m=0m = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se consideran los vectores u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1, 2, 3), v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = (1, -2, -1) y w⃗=(2,α,β)\vec{w} = (2, \alpha, \beta), donde α\alpha y β\beta son números reales.
a
Determina los valores de α\alpha y β\beta para los que w⃗\vec{w} es ortogonal a los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.0,75 pts
b
Determina los valores de α\alpha y β\beta para los que w⃗\vec{w} y v⃗\vec{v} tienen la misma dirección.0,75 pts
c
Para α=8\alpha = 8, determina el valor de β\beta para el que w⃗\vec{w} es combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se sabe que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dada porf(x)={sen⁡(x)+ax+bsi x≤0ln⁡(x+1)xsi x>0f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}(ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula aa y bb.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=xe−x2f(x) = xe^{-x^2}.
a
Calcula los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes coordenados y los extremos relativos de ff (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
b
Determina a>0a > 0 de manera que sea 14\frac{1}{4} el área del recinto determinado por la gráfica de ff en el intervalo [0,a][0, a] y el eje de abscisas.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas r≡x−21=y−k2=z2r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{2} y s≡x+1−1=y−11=z−31s \equiv \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}.
a
Halla kk sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.1,5 pts
b
Para k=1k = 1, halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1 pt
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