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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y=x2+1y = \sqrt{x^2 + 1} en su punto extremo.1 pt
b
Calcular lim⁡x→4(x+26)1x−4\lim_{x \to 4} \left( \frac{x + 2}{6} \right)^{\frac{1}{x - 4}}0,75 pts
c
Calcular lim⁡x→0(x2−1x2−1x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2} - \frac{1}{x} \right)0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 representada respecto a los ejes coordenados. Calcular el área de la parte sombreada.
Gráfica de la parábola f(x) = x^2 - 4x + 3 con el área sombreada entre la curva y una recta horizontal que pasa por el eje y.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la matriz:A=(1040m1−13−m) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & m & 1 \\ -1 & 3 & -m \end{pmatrix}
a
Determinar los valores del parámetro mm para los que la matriz AA tiene inversa.1,5 pts
b
Calcular la inversa de la matriz AA para m=2m = 21 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el punto P(2,2,−2)P(2, 2, -2) y la recta:r:{2x+y+z=−2x+3y+z=0 r: \begin{cases} 2x + y + z = -2 \\ x + 3y + z = 0 \end{cases}
a
Hallar la ecuación del plano π1\pi_1 que contiene a rr y pasa por PP.1,25 pts
b
Hallar la ecuación del plano π2\pi_2 que contiene a PP y es perpendicular a rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la funciónf(x)={(x+a)2x≤−1bxx+2x>−1 f(x) = \begin{cases} (x + a)^2 & x \leq -1 \\ \frac{bx}{\sqrt{x + 2}} & x > -1 \end{cases} Hallar valores de aa y de bb para que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Entre todos los rectángulos de área 8 m28\,\text{m}^2 hallar las dimensiones del que minimiza el producto de las diagonales.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:{y+z=1(m−1)x+y+z=mx+(m−1)y−z=0 \begin{cases} y + z = 1 \\ (m - 1)x + y + z = m \\ x + (m - 1)y - z = 0 \end{cases}
a
Discutirlo según los valores de mm.1,5 pts
b
Resolverlo para m=2m = 21 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas:r:x5=y+13=z4s:{x=2+3λy=2z=−1 r: \frac{x}{5} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4} \qquad \qquad s: \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = 2 \\ z = -1 \end{cases}
a
Determinar la ecuación general del plano paralelo a las rectas rr y ss y que pasa por el origen de coordenadas.1,5 pts
b
Hallar el ángulo que forman rr y ss.1 pt
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