Matemáticas II · Andalucía 2013

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \sen(x)}{x^3}$ es finito, calcula $b$ y el valor del límite.

Sea $f: (-\infty, 1) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1 \end{cases}$

Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas mediante $$f(x) = |x(x - 2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4.$$

Sea $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de $g$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Sea $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ 1 & 1 & m - 1 \end{pmatrix}$

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $(1, 0, 0)$ y tiene como vector dirección $(a, 2a, 1)$ y sea $s$ la recta dada por $$\begin{cases} -2x + y = -2 \\ -ax + z = 0 \end{cases}$$

Considera los puntos $P(2, 3, 1)$ y $Q(0, 1, 1)$.