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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2014

14 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Consideremos el sistema de ecuaciones {ax−(3a−2)y=1x−ay=a\begin{cases} a x - (3 a - 2) y = 1 \\ x - a y = a \end{cases} donde aa es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a=1a = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Consideremos el sistema de ecuaciones {ax−(3a−2)y=1x−ay=a\begin{cases} a x - (3 a - 2) y = 1 \\ x - a y = a \end{cases} donde aa es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a=1a = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=x2−4x2−1f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=x2−4x2−1f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sean xx e yy dos números reales tal que x+y=10x + y = 10. ¿Cuál es máximo valor posible para el producto (x+1)(y−1)(x + 1)(y - 1)?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sean xx e yy dos números reales tal que x+y=10x + y = 10. ¿Cuál es máximo valor posible para el producto (x+1)(y−1)(x + 1)(y - 1)?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sean las matrices A=(212−1−2)A = \begin{pmatrix} 2 & \frac{1}{2} \\ -1 & -2 \end{pmatrix} y B=(1004−22)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}. Calcular, si existe, una matriz XX de tal forma que A⋅X=BtA \cdot X = B^t. (Nota: BtB^t indica la matriz traspuesta de la matriz BB.)
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sean las matrices A=(212−1−2)A = \begin{pmatrix} 2 & \frac{1}{2} \\ -1 & -2 \end{pmatrix} y B=(1004−22)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}. Calcular, si existe, una matriz XX de tal forma que A⋅X=BtA \cdot X = B^t. (Nota: BtB^t indica la matriz traspuesta de la matriz BB.)
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Mi porcentaje de acierto en lanzamientos de tiro libre es del 60%60\%. Si realizo dos lanzamientos, calcular:
a)0,5 pts
Probabilidad de acertar, al menos, uno de ellos.
b)0,5 pts
Probabilidad de acertar solamente un lanzamiento.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Mi porcentaje de acierto en lanzamientos de tiro libre es del 60%60\%. Si realizo dos lanzamientos, calcular:
a)0,5 pts
Probabilidad de acertar, al menos, uno de ellos.
b)0,5 pts
Probabilidad de acertar solamente un lanzamiento.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
3 puntos
Parte A2
Sea la función f(x)=−x3+ax2+12x+bf(x) = -x^3 + ax^2 + 12x + b.
a)1 pts
Determinar el valor de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) tenga un extremo relativo en el punto (2,16)(2, 16). En ese caso, ¿el punto (2,16)(2, 16) es máximo o mínimo?
b)1 pts
Tomando a=3a = 3 y b=0b = 0, determinar los puntos de la función f(x)f(x) en los que la recta tangente es paralela a la recta y=12x+2014y = 12x + 2014.
c)1 pts
Tomando a=b=0a = b = 0, calcular el área limitada por la función f(x)f(x) y la recta y=8xy = 8x. El área solicitada aparece sombreada en la figura siguiente.
Gráfica de la función f(x) y la recta y=8x con el área entre ellas sombreada.
Gráfica de la función f(x) y la recta y=8x con el área entre ellas sombreada.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
3 puntos
Parte B2
El afamado cocinero Alfredo Azurmendi tiene un restaurante con tres comedores en los que sirva un Menú Degustación, un Menú Executive y un Menú del Día. La distribución de comensales de un cierto día y los ingresos aparecen reflejados en la tabla adjunta.
Menú DegustaciónMenú ExecutiveMenú del DíaIngresos
Comensales comedor 110410680 €
Comensales comedor 21035610 €
Comensales comedor 3552370 €
a)1 pts
Determinar un sistema de ecuaciones que permita conocer el precio de cada uno de los menús del restaurante.
b)1 pts
Determinar el precio de cada uno de los menús.
c)1 pts
Si el coste de elaboración y servicio de un Menú Degustación es 3535 €, de un Menú Executive es de 1414 € y el del Menú del Día es 66 €, determinar los beneficios del restaurante del día reflejado en la tabla. (Nota: Para calcular los beneficios debes aplicar que Beneficios = Ingresos - Costes.)
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
3 puntos
Parte A2
En una bodega se producen vinos de crianza y de reserva. Por problemas de diseño, la producción de ambas tipos de vino no debe superar los 60 millones de litros y la producción de vinos de crianza debe ser de al menos 10 millones de litros. Además, la producción de vino de reserva no debe superar el doble de la de vino de crianza ni ser inferior a su mitad.
a)2 pts
Plantea el conjunto de restricciones y determina la región factible.
b)1 pts
Si la bodega comercializa el litro de vino de crianza a 44 € y el de reserva a 99 €. ¿Cuál es el diseño de producción que maximiza los ingresos?
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
3 puntos
Parte B2
Se estima que el gasto mensual por familia en calefacción sigue una distribución normal con media 8585 € y desviación típica 77 €.
a)1,5 pts
Calcula el intervalo de confianza correspondiente a una probabilidad del 90%90\% para el gasto mensual medio en calefacción de muestras formadas por 6464 familias.
b)1,5 pts
Tomamos una muestra aleatoria de 2525 familias. Calcula la probabilidad de que el gasto medio de las familias de la muestra esté entre 8484 y 8787 €.
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