Matemáticas II · Andalucía 2023

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de $6$ cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - \ln(1 + x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}$, calcula $a$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $\int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^2} dx$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 + 1$.

Una fábrica dispone de tres líquidos $L_1, L_2$ y $L_3$, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido $L_1$ contiene $120$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio, cada litro del líquido $L_2$ contiene $100$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio y cada litro del líquido $L_3$ contiene $60$ mg de sodio y $180$ mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L_1, L_2$ y $L_3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de $100$ mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$.

Considera los puntos $A(1, -2, 3)$ y $B(2, 0, -1)$.

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y la recta $r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}$. Halla la ecuación de un plano $\pi'$, paralelo a $\pi$, tal que si $Q$ y $Q'$ son respectivamente los puntos de corte de la recta $r$ con los planos $\pi$ y $\pi'$, entonces la distancia entre $Q$ y $Q'$ sea de $2$ unidades.