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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2023OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 66 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0sen⁡(x)−ln⁡(1+x)ax2−x+ex−cos⁡(2x)=−17\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - \ln(1 + x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}, calcula aa (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Calcula ∫61219−x2dx\int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^2} dx.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1.
a
Determina el punto de la gráfica de ff en el que la recta tangente es y=4x−3y = 4x - 3.0,75 pts
b
Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de ff, la recta y=4x−3y = 4x - 3 y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.1,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Una fábrica dispone de tres líquidos L1,L2L_1, L_2 y L3L_3, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido L1L_1 contiene 120120 mg de sodio y 9090 mg de magnesio, cada litro del líquido L2L_2 contiene 100100 mg de sodio y 9090 mg de magnesio y cada litro del líquido L3L_3 contiene 6060 mg de sodio y 180180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de L1,L2L_1, L_2 y L3L_3 en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Considera las matrices A=(12m−130−2−3m12)A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(1−13021254)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de mm para que la matriz AA tenga inversa.1 pt
b
Calcula para m=1m = 1, si es posible, la matriz XX tal que AX=BtAX = B^t, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,−2,3)A(1, -2, 3) y B(2,0,−1)B(2, 0, -1).
a
Halla los puntos que dividen el segmento ABAB en cuatro partes iguales.1,5 pts
b
Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento ABAB que pasa por el punto medio de dicho segmento.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Considera el plano π≡x+y+z=0\pi \equiv x + y + z = 0 y la recta r≡x−1=y2=z+12r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}. Halla la ecuación de un plano π′\pi', paralelo a π\pi, tal que si QQ y Q′Q' son respectivamente los puntos de corte de la recta rr con los planos π\pi y π′\pi', entonces la distancia entre QQ y Q′Q' sea de 22 unidades.
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