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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una empresa textil quiere fabricar dos tipos de camisetas, lisas y estampadas. Para fabricar una camiseta lisa necesita 70 g70\,\text{g} de algodón y 20 g20\,\text{g} de poliéster y para cada camiseta estampada 60 g60\,\text{g} de algodón y 10 g10\,\text{g} de poliéster. La empresa dispone para ello de 4200 g4200\,\text{g} de algodón y 800 g800\,\text{g} de poliéster. Para que sea rentable debe fabricar al menos 10 estampadas y además, el doble de las estampadas debe ser al menos igual al número de lisas. Sabiendo que cada camiseta lisa da un beneficio de 5 euros y cada estampada de 4 euros, ¿cuántas camisetas de cada tipo debería fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es ese beneficio?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=x3−9x+2f(x) = x^3 - 9x + 2
a
Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta y=3x−3y = 3x - 3.1 pt
b
Estudie la monotonía y la curvatura de la función ff.1 pt
c
Calcule ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 65 %65\,\% de los turistas que visitan una provincia elige alojamientos en la capital y el resto en zonas rurales. Además, el 75 %75\,\% de los turistas que se hospedan en la capital y el 15 %15\,\% de los que se hospedan en zonas rurales, lo hacen en hoteles, mientras que el resto lo hace en apartamentos turísticos. Se elige al azar un turista de los que se han alojado en esa provincia.
a
¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel?1,5 pts
b
Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento turístico, ¿cuál es la probabilidad de que el apartamento esté en zonas rurales?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se desea estimar la proporción de individuos que piensan votar a un cierto partido político en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos de la ciudad, resultando que 135 de ellos piensan votar a ese partido.
a
Calcule un intervalo de confianza al 97 %97\,\% para la proporción de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad.1,5 pts
b
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 2 %2\,\%.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera la matriz:A=(1−20−22−1011) A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Razone si la matriz AA es simétrica.0,5 pts
b
Calcule A−1A^{-1}.1 pt
c
Resuelva la ecuación matricial 2X⋅A−A2−3I3=O2X \cdot A - A^2 - 3I_3 = O.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)={1x−1si x<0x2+asi x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + a & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Determine el valor del parámetro aa para que ff sea continua en todo su dominio. Para ese valor de aa, estudie la derivabilidad de ff.1 pt
b
Para a=−2a = -2, estudie la monotonía y curvatura de la función ff. ¿Tiene algún punto de inflexión?1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 69 %69\,\% de los habitantes de una determinada ciudad ven series, el 35 %35\,\% películas y el 18 %18\,\% no ven ni series ni películas. Se elige al azar un habitante de la ciudad.
a
Calcule la probabilidad de que vea series o películas.0,75 pts
b
Sabiendo que ve series, calcule la probabilidad de que vea películas.1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad de que vea series y no vea películas?0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Los directivos de una empresa desean estimar el tiempo medio que tardan los empleados en llegar al puesto de trabajo desde sus domicilios. Admitimos que dicho tiempo sigue una distribución Normal de desviación típica 8 minutos. Se elige al azar una muestra de 9 empleados de esa empresa, obteniéndose los siguientes resultados, expresados en minutos: 10, 17, 8, 27, 6, 9, 32, 5, 21
Datos
  • desviación típica 8 minutos8\,\text{minutos}
a
Determine un intervalo de confianza al 92 %92\,\% para la media poblacional.1,5 pts
b
Con una confianza del 95,5 %95{,}5\,\%, ¿qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1,51{,}5 minutos?1 pt
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