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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Variante 6

Matemáticas II · Andalucía 2012

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Se considera la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={1+ax−2si x<1a+bxsi x≥1 f(x) = \begin{cases} 1 + \frac{a}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ a + \frac{b}{\sqrt{x}} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} Calcula los valores de aa y bb.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(1−x2)e−xf(x) = (1 - x^2) e^{-x}. Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (−1,0)(-1, 0).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sean las funciones f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} y g:[0,+∞)→Rg: [0, +\infty) \to \mathbb{R} definidas por f(x)=x24f(x) = \frac{x^2}{4} y g(x)=2xg(x) = 2\sqrt{x} respectivamente.
a)0,75 pts
Halla los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto que limitan.
b)1,75 pts
Calcula el área de dicho recinto.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a)1,25 pts
¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.
b)1,25 pts
Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%50\%, un 20%20\% y un 25%25\% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones {x+y+kz=12x+ky=1y+2z=k \begin{cases} x + y + kz = 1 \\ 2x + ky = 1 \\ y + 2z = k \end{cases}
a)1 pts
Clasifica el sistema según los valores del parámetro kk.
b)0,75 pts
Resuélvelo para k=1k = 1.
c)0,75 pts
Resuélvelo para k=−1k = -1.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Determina el punto PP de la recta r≡x+32=y+53=z+43r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 4}{3} que equidista del origen de coordenadas y del punto A(3,2,1)A(3, 2, 1).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,2)P(1, 0, 2) y la recta rr dada por las ecuaciones {2x−y−4=0y+2z−8=0\begin{cases} 2x - y - 4 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}
a)1 pts
Calcula la ecuación del plano que pasa por PP y es perpendicular a rr.
b)1,5 pts
Calcula el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.
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