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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Variante 6

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida porf(x)={1+ax−2si x<1a+bxsi x≥1 f(x) = \begin{cases} 1 + \frac{a}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ a + \frac{b}{\sqrt{x}} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} Calcula los valores de aa y bb.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(1−x2)e−xf(x) = (1 - x^2) e^{-x}. Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (−1,0)(-1, 0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a
¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.1,25 pts
b
Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%50\%, un 20%20\% y un 25%25\% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determina el punto PP de la recta r≡x+32=y+53=z+43r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 4}{3} que equidista del origen de coordenadas y del punto A(3,2,1)A(3, 2, 1).
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las funciones f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} y g:[0,+∞)→Rg: [0, +\infty) \to \mathbb{R} definidas por f(x)=x24f(x) = \frac{x^2}{4} y g(x)=2xg(x) = 2\sqrt{x} respectivamente.
a
Halla los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto que limitan.0,75 pts
b
Calcula el área de dicho recinto.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{x+y+kz=12x+ky=1y+2z=k \begin{cases} x + y + kz = 1 \\ 2x + ky = 1 \\ y + 2z = k \end{cases}
a
Clasifica el sistema según los valores del parámetro kk.1 pt
b
Resuélvelo para k=1k = 1.0,75 pts
c
Resuélvelo para k=−1k = -1.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,2)P(1, 0, 2) y la recta rr dada por las ecuaciones {2x−y−4=0y+2z−8=0\begin{cases} 2x - y - 4 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}
a
Calcula la ecuación del plano que pasa por PP y es perpendicular a rr.1 pt
b
Calcula el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.1,5 pts
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