Matemáticas II · Andalucía 2023

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + a}{x - b}$ para $x \neq b$.

Sabiendo que $F \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $F(x) = e^{x^2}$ es una primitiva de $f$.

Considera la función $f \colon [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \cos(\sqrt{x})$. Calcula, si es posible, una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$. Sugerencia: haz el cambio $t = \sqrt{x}$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, se define la matriz $M = A + (\lambda - 1)B$.

Considera el plano $\pi$, determinado por los puntos $A(-1, 0, 0)$, $B(0, 1, 1)$ y $C(2, 1, 0)$, y la recta $$r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}$$ Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ es $\sqrt{14}$ unidades.

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos $P(-1, 2, 3)$, $Q(-2, 1, 0)$, $R(0, 5, 1)$ y $S$.