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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2023ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f(x)=x2+ax−bf(x) = \frac{x^2 + a}{x - b} para x≠bx \neq b.
a
Calcula aa y bb para que la gráfica de ff pase por el punto (1,−2)(1, -2) y tenga a la recta y=x+4y = x + 4 como asíntota oblicua.1,5 pts
b
En el caso a=5a = 5 y b=4b = 4, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff que pasa por el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sabiendo que F ⁣:R→RF \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por F(x)=ex2F(x) = e^{x^2} es una primitiva de ff.
a
Comprueba que ff es creciente.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas y la recta x=1x = 1.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f ⁣:[0,+∞)→Rf \colon [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(\sqrt{x}). Calcula, si es posible, una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,5)(0, 5). Sugerencia: haz el cambio t=xt = \sqrt{x}.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera la matriz A=(0a−b00b000)A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula A10A^{10}.0,75 pts
b
Calcula, si es posible, la matriz inversa de I+A+A2I + A + A^2, donde II denota la matriz identidad de orden 3.1,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Dadas las matrices A=(110101011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(001010100)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, se define la matriz M=A+(λ−1)BM = A + (\lambda - 1)B.
a
Halla los valores de λ\lambda para los que la matriz MM tiene rango menor que 3.1,5 pts
b
Para λ=−1\lambda = -1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es MM.1 pt
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el plano π\pi, determinado por los puntos A(−1,0,0)A(-1, 0, 0), B(0,1,1)B(0, 1, 1) y C(2,1,0)C(2, 1, 0), y la rectar≡{x−2z−3=0y−z−2=0r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}Halla los puntos de rr cuya distancia a π\pi es 14\sqrt{14} unidades.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos P(−1,2,3)P(-1, 2, 3), Q(−2,1,0)Q(-2, 1, 0), R(0,5,1)R(0, 5, 1) y SS.
a
Halla las coordenadas del punto SS.1 pt
b
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos PP, QQ y RR.1,5 pts
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