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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro aa:{x+y+z=22x+3y−4z=03x+ay+2z=2\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - 4z = 0 \\ 3x + ay + 2z = 2 \end{cases}
a
Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de aa.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para a=−1a = -1.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Un estudio basado en los datos censales sobre la evolución de la población en una ciudad española revela que, en el período 2005-2015, el número de habitantes (en miles) sigue la funciónp(t)=(t−2)2(1−2t)+252t+116p(t) = (t - 2)^2 (1 - 2t) + 252t + 116donde tt indica el tiempo medido en años, siendo t=0t = 0 el tiempo correspondiente al año 2005. Tomando p(t)p(t), determina los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de habitantes de dicha ciudad. ¿En qué momento del tiempo el número de habitantes es máximo? ¿Qué número de habitantes tiene la ciudad en ese momento?
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Las autoridades sanitarias están estudiando los efectos del tabaco en la salud. El tiempo que tarda un fumador en dejar definitivamente de fumar se ajusta a una distribución normal, de media 55 meses y desviación típica 22 meses. Con esta información:
a
Calcula la probabilidad de que un fumador tarde más de 44 meses en dejar definitivamente de fumar?1 pt
b
Si se toman 5050 fumadores, calcula la probabilidad de que el tiempo medio que tardan los 5050 fumadores en dejar definitivamente de fumar sea inferior a 66 meses.2 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
La ficha técnica del estudio social “Influencers en redes sociales” indica que se ha encuestado a 10961096 individuos de 1616 a 5555 años de edad residentes en España. La muestra se ha tomado de manera estratificada, con muestreo aleatorio simple en cada estrato. El error de estimación de la proporción de individuos que se declaran seguidores de influencers es de ±3%\pm 3\% con un nivel de confianza del 95,5%95{,}5\%. Para esta ficha técnica, identifica los siguientes elementos: población, diseño muestral, tamaño muestral, parámetro estimado.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Una familia de 33 miembros recibe la devolución de los impuestos abonados en la campaña RENTA2017 por un importe total de 32503250 €. Sabiendo que la madre recibe el doble que el hijo y que el padre recibe 23\frac{2}{3} de lo que recibe la madre, calcula el importe de la devolución que recibe cada miembro de la familia.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La producción de petróleo (millones de barriles) de un pozo petrolífero a lo largo del tiempo xx (años) se mide según la siguiente funciónf(x)={17xsi 0≤x<5−3x2+30x+10si 5≤x<1010si x≥10f(x) = \begin{cases} 17x & \text{si } 0 \leq x < 5 \\ -3x^2 + 30x + 10 & \text{si } 5 \leq x < 10 \\ 10 & \text{si } x \geq 10 \end{cases}
a
Estudia la continuidad de la función f(x)f(x). ¿Cuántos barriles de petróleo produce dicho pozo cuando x=8x = 8?1,5 pts
b
Calcula el área limitada por la función f(x)f(x) y el eje OXOX en el intervalo [2,3][2, 3].1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
El 15%15\% de los paquetes repartidos por una empresa de transporte llegan defectuosos. Entre los paquetes que llegan defectuosos un 9%9\% llega fuera de plazo, mientras que entre los no defectuosos sólo un 2%2\% llega fuera de plazo. Se elige un paquete al azar repartido por esta empresa:
a
Calcula la probabilidad de que el paquete elegido llegue fuera de plazo.1,5 pts
b
Sabiendo que el paquete elegido llega fuera de plazo, ¿qué probabilidad hay de que llegue defectuoso?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
En el aeropuerto A, se toma una muestra de 100100 días y se observa que en 2525 hay saturación aérea. Con esos datos, se calculan dos intervalos de confianza para el parámetro proporción de días con saturación aérea en el aeropuerto A: [0,122,0,378][0{,}122, 0{,}378] y [0,165,0,335][0{,}165, 0{,}335] ¿Cuál es el intervalo de menor confianza? Justifica tu respuesta.
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