Matemáticas CCSS · Castilla y León 2019

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - 4z = 0 \\ 3x + ay + 2z = 2 \end{cases}$$

Una familia de $3$ miembros recibe la devolución de los impuestos abonados en la campaña RENTA2017 por un importe total de $3250$ €. Sabiendo que la madre recibe el doble que el hijo y que el padre recibe $\frac{2}{3}$ de lo que recibe la madre, calcula el importe de la devolución que recibe cada miembro de la familia.

Un estudio basado en los datos censales sobre la evolución de la población en una ciudad española revela que, en el período 2005-2015, el número de habitantes (en miles) sigue la función $$p(t) = (t - 2)^2 (1 - 2t) + 252t + 116$$ donde $t$ indica el tiempo medido en años, siendo $t = 0$ el tiempo correspondiente al año 2005. Tomando $p(t)$, determina los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de habitantes de dicha ciudad. ¿En qué momento del tiempo el número de habitantes es máximo? ¿Qué número de habitantes tiene la ciudad en ese momento?

La producción de petróleo (millones de barriles) de un pozo petrolífero a lo largo del tiempo $x$ (años) se mide según la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} 17x & \text{si } 0 \leq x < 5 \\ -3x^2 + 30x + 10 & \text{si } 5 \leq x < 10 \\ 10 & \text{si } x \geq 10 \end{cases}$$

Las autoridades sanitarias están estudiando los efectos del tabaco en la salud. El tiempo que tarda un fumador en dejar definitivamente de fumar se ajusta a una distribución normal, de media $5$ meses y desviación típica $2$ meses. Con esta información:

El $15\%$ de los paquetes repartidos por una empresa de transporte llegan defectuosos. Entre los paquetes que llegan defectuosos un $9\%$ llega fuera de plazo, mientras que entre los no defectuosos sólo un $2\%$ llega fuera de plazo. Se elige un paquete al azar repartido por esta empresa:

La ficha técnica del estudio social “Influencers en redes sociales” indica que se ha encuestado a $1096$ individuos de $16$ a $55$ años de edad residentes en España. La muestra se ha tomado de manera estratificada, con muestreo aleatorio simple en cada estrato. El error de estimación de la proporción de individuos que se declaran seguidores de influencers es de $\pm 3\%$ con un nivel de confianza del $95{,}5\%$. Para esta ficha técnica, identifica los siguientes elementos: población, diseño muestral, tamaño muestral, parámetro estimado.

En el aeropuerto A, se toma una muestra de $100$ días y se observa que en $25$ hay saturación aérea. Con esos datos, se calculan dos intervalos de confianza para el parámetro proporción de días con saturación aérea en el aeropuerto A: $[0{,}122, 0{,}378]$ y $[0{,}165, 0{,}335]$ ¿Cuál es el intervalo de menor confianza? Justifica tu respuesta.