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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{x+y+z=ax+ay+z=ax+y+az=1\begin{cases} x + y + z = a \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = 1 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los valores de aa.1,5 pts
b
Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean el punto P(−1,2,0)P(-1, 2, 0) y el plano π ⁣:x+y−z+2=0\pi \colon x + y - z + 2 = 0 Calcule:
a
La ecuación de una recta que pase por el punto PP y corte al plano π\pi.1,25 pts
b
La distancia del punto PP al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una ventana rectangular tiene un perímetro de 1212 metros. Calcule las medidas de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máxima.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La curva y=x3−3xy = x^3 - 3x y la recta y=xy = x limitan un recinto finito en el plano.
a
Dibuje un esquema del recinto.1 pt
b
Calcule su área.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el número real aa se considera la matrizA=(1a11101a0)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 0 \end{pmatrix}
a
Halle los valores de aa para los cuales la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Obtenga la matriz inversa de AA en los casos en que exista.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran los puntos en el espacio A(0,−1,2)A(0, -1, 2) y B(2,2,3)B(2, 2, 3).
a
Halle las ecuaciones implícitas de la recta rr que pasa por AA y BB.1,25 pts
b
Dé la ecuación de un plano perpendicular a rr pasando por AA.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la funciónf(x)={7+axsi x<1ax+bxsi x≥1f(x) = \begin{cases} 7 + ax & \text{si } x < 1 \\ a\sqrt{x} + \frac{b}{x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}Determine los valores de aa y bb para que la función sea derivable en todo su dominio.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La parábola x=y2+1x = y^2 + 1 y la recta x=3x = 3 limitan un recinto finito en el plano.
a
Dibuje un esquema del recinto.0,75 pts
b
Calcule su área.1,75 pts
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