Matemáticas II · Asturias 2011

Dado el sistema $$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = 1 \end{cases}$$

Dado el número real $a$ se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 0 \end{pmatrix}$$

Sean el punto $P(-1, 2, 0)$ y el plano $\pi \colon x + y - z + 2 = 0$ Calcule:

Se consideran los puntos en el espacio $A(0, -1, 2)$ y $B(2, 2, 3)$.

Una ventana rectangular tiene un perímetro de $12$ metros. Calcule las medidas de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máxima.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 7 + ax & \text{si } x < 1 \\ a\sqrt{x} + \frac{b}{x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en todo su dominio.

La curva $y = x^3 - 3x$ y la recta $y = x$ limitan un recinto finito en el plano.

La parábola $x = y^2 + 1$ y la recta $x = 3$ limitan un recinto finito en el plano.