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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2014

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sèrie 3
Pol, Júlia y Maria han comprado un regalo. Júlia ha gastado la mitad de dinero que Maria, y Pol ha gastado el triple que Júlia.
a
Explique razonadamente si con estos datos tenemos suficiente para determinar cuánto ha gastado cada uno de ellos.1 pt
b
Si además nos dicen que entre los tres han gastado 6363 €, ¿cuánto ha gastado cada uno?1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sèrie 4
El precio en bolsa de unas acciones viene definido por la función p(t)=500⋅e0,3tp(t) = 500 \cdot e^{0{,}3t}, donde tt indica los años transcurridos a partir del momento presente.
a
Si vendemos las acciones dentro de un año, ¿qué porcentaje de beneficio obtendremos?1 pt
b
¿Dentro de cuántos años habremos conseguido doblar el precio de las acciones?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sèrie 3
La gráfica de la derivada f′f' de la función ff es una parábola que corta al eje de abscisas en los puntos (5,0)(5, 0) y (1,0)(1, 0), y tiene el vértice en el punto (3,−4)(3, -4).
a
Explique razonadamente en qué intervalos la función ff es creciente y en qué intervalos es decreciente. Indique los extremos relativos y clasifíquelos.1 pt
b
Sabemos que f(3)=2f(3) = 2. Determine la ecuación de la recta tangente a la función ff en el punto (3,2)(3, 2).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Una empresa de informática fabrica ordenadores portátiles y de sobremesa y vende todos los que fabrica. La empresa tiene capacidad para fabricar 30003000 ordenadores. Por cuestiones de mercado, el número de ordenadores de sobremesa no puede ser inferior a la mitad del número de portátiles, pero tampoco puede superar el número de portátiles. La empresa gana 100100 € por cada ordenador de sobremesa, y un 2020 % más en la venta de cada portátil. ¿Cuántos ordenadores de cada clase debe fabricar para maximizar los beneficios?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sèrie 3
Una cadena de televisión decide emitir un nuevo programa en la franja horaria de las 17:00 h a las 21:00 h. El porcentaje de audiencia PP de la primera emisión en función del tiempo tt, medido en horas, viene definido por la funciónP(t)=15(−t3+49t2−760t+3690)17≤t≤21P(t) = \frac{1}{5} (-t^3 + 49t^2 - 760t + 3690) \quad 17 \leq t \leq 21Los directivos de la cadena acuerdan que el programa se seguirá emitiendo si en algún momento se consigue un porcentaje de audiencia superior al 2020 %.
a
Explique razonadamente en qué intervalos de tiempo la audiencia del programa aumentó y en qué intervalos disminuyó.1 pt
b
En vista de los resultados, ¿se seguirá emitiendo el programa? Justifique la respuesta.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Sean las matrices A=(2312)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(0−1−10)B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} e I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Determine una matriz XX que verifique A⋅X=IA \cdot X = I.1 pt
b
Determine una matriz YY que verifique A⋅Y⋅A=BA \cdot Y \cdot A = B.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sèrie 3
Sean las matrices A=(x00x)A = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} e I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, determine xx para que se verifique la ecuación A2−6A+5I=0A^2 - 6A + 5I = \mathbf{0}, donde 0\mathbf{0} es la matriz en la que todos los elementos son 00.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Los beneficios diarios, en centenares de euros, de un taller de bicicletas vienen definidos por la función f(x)=−20x2+50x−20f(x) = -20x^2 + 50x - 20, donde xx son los centenares de bicicletas vendidas. El taller solo tiene capacidad para fabricar 200200 bicicletas al día.
a
Calcule el beneficio máximo diario que puede obtener el taller.1 pt
b
Determine el número mínimo de bicicletas que debe fabricar para no tener pérdidas.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sèrie 3
Tenemos que fertilizar los terrenos de una finca utilizando dos abonos, A y B. El coste del abono A es de 0,90{,}9 €/kg, y el abono B cuesta 1,51{,}5 €/kg. El abono A contiene un 2020 % de nitrógeno y un 1010 % de fósforo, mientras que el abono B contiene un 1818 % y un 1515 %, respectivamente. Para fertilizar los terrenos correctamente necesitamos un mínimo de 180180 kg de nitrógeno y 120120 kg de fósforo.
a
Si llamamos xx a los kilogramos de abono A e yy a los kilogramos de abono B, escriba el sistema de inecuaciones que satisface las condiciones anteriores.1 pt
b
¿Cuál es el gasto mínimo que debemos hacer si queremos fertilizar los terrenos de la finca correctamente?1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere la función f(x)=3x−42x−5f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 5}.
a
Indique el dominio y los puntos donde la gráfica de la función ff corta al eje de abscisas.1 pt
b
Determine, si las tiene, las asíntotas horizontales y verticales.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sèrie 3
Sea la función f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x.
a
Si la función ff tiene extremos relativos, determínelos y clasifíquelos.1 pt
b
Calcule la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscissa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Un tendero quiere determinar la cantidad de billetes de 55 €, 1010 € y 2020 € que debe tener en la tienda para atender mejor a los clientes. En total, quiere tener 13751375 € en 9090 billetes en la caja. Además, se ha dado cuenta de que le conviene tener el doble de billetes de 2020 € que de 55 € y 1010 € juntos. ¿Cuántos billetes deberá tener de cada clase?
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