Matemáticas CCSS · Cataluña 2014

Pol, Júlia y Maria han comprado un regalo. Júlia ha gastado la mitad de dinero que Maria, y Pol ha gastado el triple que Júlia.

El precio en bolsa de unas acciones viene definido por la función $p(t) = 500 \cdot e^{0{,}3t}$, donde $t$ indica los años transcurridos a partir del momento presente.

La gráfica de la derivada $f'$ de la función $f$ es una parábola que corta al eje de abscisas en los puntos $(5, 0)$ y $(1, 0)$, y tiene el vértice en el punto $(3, -4)$.

Una empresa de informática fabrica ordenadores portátiles y de sobremesa y vende todos los que fabrica. La empresa tiene capacidad para fabricar $3000$ ordenadores. Por cuestiones de mercado, el número de ordenadores de sobremesa no puede ser inferior a la mitad del número de portátiles, pero tampoco puede superar el número de portátiles. La empresa gana $100$ € por cada ordenador de sobremesa, y un $20$ % más en la venta de cada portátil. ¿Cuántos ordenadores de cada clase debe fabricar para maximizar los beneficios?

Una cadena de televisión decide emitir un nuevo programa en la franja horaria de las 17:00 h a las 21:00 h. El porcentaje de audiencia $P$ de la primera emisión en función del tiempo $t$, medido en horas, viene definido por la función $$P(t) = \frac{1}{5} (-t^3 + 49t^2 - 760t + 3690) \quad 17 \leq t \leq 21$$ Los directivos de la cadena acuerdan que el programa se seguirá emitiendo si en algún momento se consigue un porcentaje de audiencia superior al $20$ %.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, determine $x$ para que se verifique la ecuación $A^2 - 6A + 5I = \mathbf{0}$, donde $\mathbf{0}$ es la matriz en la que todos los elementos son $0$.

Los beneficios diarios, en centenares de euros, de un taller de bicicletas vienen definidos por la función $f(x) = -20x^2 + 50x - 20$, donde $x$ son los centenares de bicicletas vendidas. El taller solo tiene capacidad para fabricar $200$ bicicletas al día.

Tenemos que fertilizar los terrenos de una finca utilizando dos abonos, A y B. El coste del abono A es de $0{,}9$ €/kg, y el abono B cuesta $1{,}5$ €/kg. El abono A contiene un $20$ % de nitrógeno y un $10$ % de fósforo, mientras que el abono B contiene un $18$ % y un $15$ %, respectivamente. Para fertilizar los terrenos correctamente necesitamos un mínimo de $180$ kg de nitrógeno y $120$ kg de fósforo.

Considere la función $f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 5}$.

Sea la función $f(x) = x \cdot e^x$.

Un tendero quiere determinar la cantidad de billetes de $5$ €, $10$ € y $20$ € que debe tener en la tienda para atender mejor a los clientes. En total, quiere tener $1375$ € en $90$ billetes en la caja. Además, se ha dado cuenta de que le conviene tener el doble de billetes de $20$ € que de $5$ € y $10$ € juntos. ¿Cuántos billetes deberá tener de cada clase?