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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2012

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1 punto
Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores i⃗=(1,0,1)\vec{i} = (1, 0, 1) y v⃗=(2,1,0)\vec{v} = (2, 1, 0).
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Calculalim⁡x→0ex−xcos⁡x−1sen⁡x−x+1−cos⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Calcula el área de la región limitada por la función f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, la recta tangente a f(x)f(x) en x=ex = e y el eje de abcisas.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Para a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función:f(x)={1+axsix≤0ln⁡(x2+a)six>0f(x) = \begin{cases} 1 + a^x & \text{si} \quad x \leq 0 \\ \ln(x^2 + a) & \text{si} \quad x > 0 \end{cases}Describe la función derivada f′(x)f'(x).
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Discute y resuelve, según los valores de aa, el siguiente sistema de ecuaciones:{x+(1+a)y−az=2ax+2y−z=2x+ay+(1+a)z=1\begin{cases} x + (1 + a)y - az = 2a \\ x + 2y - z = 2 \\ x + ay + (1 + a)z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 1

1
1 punto
Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores u⃗=(1,0,1)\vec{u} = (1, 0, 1) y v⃗=(2,1,0)\vec{v} = (2, 1, 0).
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Calculalim⁡x→0ex−xcos⁡x−1sen⁡x−x+1−cos⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Calcula el área de la región limitada por la función f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, la recta tangente a f(x)f(x) en x=ex = e y el eje de abcisas.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Enuncia el Teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación x=cos⁡xx = \cos x tiene una única solución. Debes justificar adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar las gráficas de las funciones f(x)=xf(x) = x y g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x.)
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Para los puntos A(1,0,2)A(1, 0, 2) y B(−1,2,4)B(-1, 2, 4) y la recta rr de ecuación x+22=y−1=z−13\frac{x + 2}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3}:
a
Calcula la ecuación del plano π\pi formado por los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de AA y de BB.
b
Calcula la ecuación del plano π′\pi' paralelo a rr y que pase por AA y BB.
c
Encuentra otro plano π′′\pi'' de modo que la intersección de π,π′\pi, \pi' y π′′\pi'' sea exactamente un punto.
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