Matemáticas II · La Rioja 2012

Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores $\vec{i} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (2, 1, 0)$.

Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (2, 1, 0)$.

Calcula $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}$$

Calcula $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}$$

Calcula el área de la región limitada por la función $f(x) = \ln x$, la recta tangente a $f(x)$ en $x = e$ y el eje de abcisas.

Calcula el área de la región limitada por la función $f(x) = \ln x$, la recta tangente a $f(x)$ en $x = e$ y el eje de abcisas.

Para $a \in (0, +\infty)$ determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función: $$f(x) = \begin{cases} 1 + a^x & \text{si} \quad x \leq 0 \\ \ln(x^2 + a) & \text{si} \quad x > 0 \end{cases}$$ Describe la función derivada $f'(x)$.

Enuncia el Teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación $x = \cos x$ tiene una única solución. Debes justificar adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar las gráficas de las funciones $f(x) = x$ y $g(x) = \cos x$.)

Discute y resuelve, según los valores de $a$, el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + (1 + a)y - az = 2a \\ x + 2y - z = 2 \\ x + ay + (1 + a)z = 1 \end{cases}$$

Para los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(-1, 2, 4)$ y la recta $r$ de ecuación $\frac{x + 2}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3}$: