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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2017

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Sea MM la matriz M=(x−xx1−xxx2xx)M = \begin{pmatrix} x & -x & x \\ 1 & -x & x \\ x & 2x & x \end{pmatrix}.
1)2,25 pts
Calcule el rango de MM en función del valor de xx.
2)1 pts
Calcule la inversa de MM en el caso de x=−1x = -1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considere el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro tt: {x+y+z=32tx+y+(t+1)z=1(t−1)x+ty+tz=−2\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2tx + y + (t + 1)z = 1 \\ (t - 1)x + ty + tz = -2 \end{cases}
1)0,25 pts
Escriba el sistema de ecuaciones como un sistema matricial de la forma A⋅X=BA \cdot X = B.
2)3 pts
Clasifique el sistema en función del valor del parámetro tt, calculando todas las soluciones en los casos en los que sea compatible.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
1)2,5 pts
Calcule el rectángulo de base xx cm, altura yy cm y diagonal 323\sqrt{2} cm cuyo perímetro sea máximo.
Rectángulo de base x, altura y y diagonal 3√2
Rectángulo de base x, altura y y diagonal 3√2
2)1 pts
Calcule la recta tangente a la función h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x en el punto (1,2)(1, 2).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Sea ff la función definida a trozos dada por f(x)={ax2+x+3si x≤32x2−3si 3<x<5bexsi x≥5f(x) = \begin{cases} ax^2 + x + 3 & \text{si } x \leq 3 \\ 2x^2 - 3 & \text{si } 3 < x < 5 \\ be^x & \text{si } x \geq 5 \end{cases}
1)1,5 pts
Calcule los valores de aa y bb para que la función sea continua en todo R\mathbb{R}.
2)1 pts
Si a=1a = 1, b=3b = 3, calcule el área encerrada bajo la gráfica de ff comprendido entre las rectas x=−1x = -1 y x=3x = 3.
3)1 pts
Calcule los extremos relativos de la función g(x)=2x2+x+3g(x) = 2x^2 + x + 3.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Sean P:x+3y+2z−1=0P: x + 3y + 2z - 1 = 0 y Q:2x+6y+4z+3=0Q: 2x + 6y + 4z + 3 = 0 dos planos.
1)0,25 pts
Extraiga el vector normal al plano PP de su ecuación implícita (general).
2)1 pts
Calcule ecuaciones paramétricas del plano PP.
3)1 pts
Determine la posición relativa de los planos PP y QQ.
4)1 pts
Calcule la recta normal a QQ que pase por el punto (0,0,0)(0, 0, 0).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Sea QQ el plano de ecuación vectorial Q:(0,0,1)+s(2,−1,0)⃗+t(2,−1,1)⃗Q: (0, 0, 1) + s \vec{(2, -1, 0)} + t \vec{(2, -1, 1)}.
1)0,5 pts
Calcule la ecuación implícita (general) del plano QQ.
2)1,25 pts
Calcule la recta que pasa por (−1,2,4)(-1, 2, 4) que sea perpendicular al plano QQ.
3)1,5 pts
Calcule la distancia del punto (−1,2,4)(-1, 2, 4) al plano QQ.
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