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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2017

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Sea MM la matriz M=(x−xx1−xxx2xx)M = \begin{pmatrix} x & -x & x \\ 1 & -x & x \\ x & 2x & x \end{pmatrix}.
1
Calcule el rango de MM en función del valor de xx.2,25 pts
2
Calcule la inversa de MM en el caso de x=−1x = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
1
Calcule el rectángulo de base xx cm, altura yy cm y diagonal 323\sqrt{2} cm cuyo perímetro sea máximo.2,5 pts
Rectángulo de base x, altura y y diagonal 3√2
2
Calcule la recta tangente a la función h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x en el punto (1,2)(1, 2).1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean P:x+3y+2z−1=0P: x + 3y + 2z - 1 = 0 y Q:2x+6y+4z+3=0Q: 2x + 6y + 4z + 3 = 0 dos planos.
1
Extraiga el vector normal al plano PP de su ecuación implícita (general).0,25 pts
2
Calcule ecuaciones paramétricas del plano PP.1 pt
3
Determine la posición relativa de los planos PP y QQ.1 pt
4
Calcule la recta normal a QQ que pase por el punto (0,0,0)(0, 0, 0).1 pt
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro tt:{x+y+z=32tx+y+(t+1)z=1(t−1)x+ty+tz=−2\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2tx + y + (t + 1)z = 1 \\ (t - 1)x + ty + tz = -2 \end{cases}
1
Escriba el sistema de ecuaciones como un sistema matricial de la forma A⋅X=BA \cdot X = B.0,25 pts
2
Clasifique el sistema en función del valor del parámetro tt, calculando todas las soluciones en los casos en los que sea compatible.3 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea ff la función definida a trozos dada porf(x)={ax2+x+3si x≤32x2−3si 3<x<5bexsi x≥5f(x) = \begin{cases} ax^2 + x + 3 & \text{si } x \leq 3 \\ 2x^2 - 3 & \text{si } 3 < x < 5 \\ be^x & \text{si } x \geq 5 \end{cases}
1
Calcule los valores de aa y bb para que la función sea continua en todo R\mathbb{R}.1,5 pts
2
Si a=1a = 1, b=3b = 3, calcule el área encerrada bajo la gráfica de ff comprendido entre las rectas x=−1x = -1 y x=3x = 3.1 pt
3
Calcule los extremos relativos de la función g(x)=2x2+x+3g(x) = 2x^2 + x + 3.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sea QQ el plano de ecuación vectorial Q:(0,0,1)+s(2,−1,0)⃗+t(2,−1,1)⃗Q: (0, 0, 1) + s \vec{(2, -1, 0)} + t \vec{(2, -1, 1)}.
1
Calcule la ecuación implícita (general) del plano QQ.0,5 pts
2
Calcule la recta que pasa por (−1,2,4)(-1, 2, 4) que sea perpendicular al plano QQ.1,25 pts
3
Calcule la distancia del punto (−1,2,4)(-1, 2, 4) al plano QQ.1,5 pts
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