Matemáticas CCSS · Murcia 2017

Tres automóviles A, B y C salen del mismo punto en tres momentos distintos y los tres circulan a una velocidad constante de $100\,\text{km/h}$. Actualmente la suma de las distancias recorridas por los tres es de $800\,\text{km}$ y la distancia recorrida por A es el triple de la recorrida por B. Hallar la distancia recorrida por cada uno de ellos en la actualidad, sabiendo que cuando pase media hora (es decir, cuando todos hayan recorrido $50\,\text{km}$ más) la suma de las distancias recorridas por A y B será $50\,\text{km}$ más que la recorrida por C.

Una perfumería prepara dos lotes de productos, el lote 1 contiene $2$ perfumes, $2$ jabones y $1$ crema corporal y el lote 2 está formado por $1$ perfume, $2$ jabones y $2$ cremas corporales. Sabiendo que dispone de $150$ perfumes, $180$ jabones y $150$ cremas corporales y que el beneficio obtenido es de $45$ euros por cada lote del tipo 1 y de $30$ euros por cada lote del tipo 2, hallar el número de lotes que debe hacer de cada tipo para obtener el beneficio máximo. ¿Cuál es dicho beneficio?

Dada la función $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$ donde $a$ y $b$ son números reales, hallar el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla que $f(0) = 1$ y $f'(0) = 1$.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x < -3 \\ x^2 + 2x + 1 & \text{si } -3 \leq x \end{cases}$$

Dada la función $f(x) = 2e^{2x - 2}$ hallar la función primitiva $F(x)$ que cumple que $F(1) = 0$.

Para que un producto cosmético tenga el informe favorable de una agencia de sanidad debe superar tres pruebas de evaluación de garantía sanitaria. Las pruebas son independientes y todos los productos se someten a las tres pruebas. Se sabe, por otras ocasiones, que la probabilidad de superar la primera prueba es $0{,}8$, la de superar la segunda es $0{,}75$ y la de superar la tercera $0{,}85$. Hallar:

En un grupo el $60\%$ de los alumnos aprueba la asignatura A y el $30\%$ aprueba la asignatura B. Se sabe, además, que el $10\%$ de los alumnos que aprueba la asignatura B aprueba también la asignatura A. Hallar el porcentaje de alumnos del grupo que aprueba alguna de las dos asignaturas.

El consumo de carne por persona en un año para una población es una variable aleatoria con distribución normal con desviación típica igual a $2\,\text{kg}$. Se toma una muestra aleatoria simple de $10$ individuos y se obtienen los siguientes consumos anuales por persona (en kg): $$24; 20; 12; 10; 30; 27; 35; 30; 25; 39$$

La estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de $0{,}4\,\text{m}$. Para estimar la media se toma una muestra aleatoria de tamaño $n$ y se encuentra un valor medio de la estatura igual a $1{,}6\,\text{m}$. Si el intervalo de confianza al $95\%$ construido a partir de esos datos es $(1{,}5216, 1{,}6784)$, calcular el valor de $n$.