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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2016

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
Hallar el valor de mm para que la funciónf(x)={6−m(x+2)2si x≤−13+2m(x+2)si x>−1f(x) = \begin{cases} 6 - m(x + 2)^2 & \text{si } x \leq -1 \\ 3 + \frac{2}{m(x + 2)} & \text{si } x > -1 \end{cases}sea derivable en x=−1x = -1.
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Ejercicio 2

2
a
Dibujar las gráficas aproximadas de f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 y g(x)=3+4x−x2g(x) = 3 + 4x - x^2, señalando los puntos de corte entre ambas curvas.
b
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a).
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Ejercicio 3

3
Resolver la ecuación matricial AXB=CAXB = C siendoA=(−1001)B=(2513)C=(1001)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
Sean AA y BB los puntos de coordenadas A(0,1,0)A(0, 1, 0) y B(0,3,−1)B(0, 3, -1).
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos AA y BB y es paralelo a la rectar≡{x−y−5=02x+y+z=0r \equiv \begin{cases} x - y - 5 = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}
b
Hallar el punto de intersección del plano z=0z = 0 y la recta con vector director (1,1,1)(1, 1, 1) que pasa por BB.
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Ejercicio 1

1
Dada la función f(x)=ln⁡(2x−x2)f(x) = \ln(2x - x^2), se pide:
a
Determinar su dominio.
b
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).
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Ejercicio 2

2
Se va a construir una caja sin tapa, a partir de una cartulina cuadrada de 60 cm60\,\text{cm} de lado, recortando cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina tal y como se muestra en la figura 1, doblando después de la manera adecuada, tal y como vemos en la figura 2. Calcular las medidas de la caja para que su volumen sea máximo.
Figura 1: Cartulina cuadrada de 60 cm con recortes en las esquinas.
Figura 2: Caja resultante tras doblar la cartulina.
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Ejercicio 3

3
Dado el sistema de ecuaciones lineales{x+my=2−2x+(m+1)y+z=0x+(2m−1)y+(m+2)z=6\begin{cases} x + my = 2 \\ -2x + (m + 1)y + z = 0 \\ x + (2m - 1)y + (m + 2)z = 6 \end{cases}
a
Discutirlo en función del parámetro mm.
b
Resolverlo para el caso m=−1m = -1.
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Ejercicio 4

4
Sean los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,1,0)B(0, 1, 0) y C(0,0,1)C(0, 0, 1).
a
Hallar la ecuación del plano que los contiene.
b
Determinar las coordenadas de un punto DD, de forma que AA, BB, CC y DD sean los vértices de un paralelogramo.
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