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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm2100\,\text{cm}^2, el margen superior tiene que ser de 2 cm2\,\text{cm}, el inferior de 3 cm3\,\text{cm} y los laterales de 5 cm5\,\text{cm} cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f′′(x)=xexf''(x) = xe^x, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en x=1x = 1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=BAX = B siendoA=(11120313m−2),X=(xyz)yB=(m2m+1m−1). A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} m \\ 2m + 1 \\ m - 1 \end{pmatrix}.
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,25 pts
b
Para m=2m = 2, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que z=17z = 17.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(2,2,2)B(2, 2, 2) y C(1,3,3)C(1, 3, 3) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCDABCD.
a
Calcula el área del paralelogramo.1 pt
b
Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.1 pt
c
Calcula las coordenadas del vértice DD.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida porf(x)=ex+e−x2 f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
a
Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de ff. Calcula los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).2 pts
b
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OXOX, la recta y=xy = x, la gráfica y=1x3y = \frac{1}{x^3} y la recta x=3x = 3.
a
Haz un esbozo del recinto descrito.0,5 pts
b
Calcula el área del recinto.1,5 pts
c
Si consideras la gráfica y=1xy = \frac{1}{x} en lugar de y=1x3y = \frac{1}{x^3}, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿por qué?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera A=(k0kk+1k00k+1k+1)A = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ k + 1 & k & 0 \\ 0 & k + 1 & k + 1 \end{pmatrix}
a
Discute el rango de AA según los valores de kk.1,5 pts
b
Para k=1k = 1, calcula el determinante de 2(AtA−1)20172(A^t A^{-1})^{2017} siendo AtA^t la traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(0,1,1)P(0, 1, 1) y la recta rr dada por {x−2y=−5z=2\begin{cases} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{cases}
a
Determina la ecuación del plano que pasa por PP y contiene a rr.1,25 pts
b
Halla las coordenadas del punto simétrico de PP respecto de rr.1,25 pts
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