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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1), tabla binomial como anexo. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:{x+2y−az=1−y+2z=0ax+3z=−a\begin{cases} x + 2y - az = 1 \\ -y + 2z = 0 \\ ax + 3z = -a \end{cases}
a
Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro aa.
b
Halla todas sus soluciones para a=2a = 2.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la curva de ecuación y=−x2+5x−6y = -x^2 + 5x - 6 se pide:
a
Halla los máximos y mínimos de la curva, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b
Representa gráficamente la curva.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media μ\mu y desviación típica σ\sigma.
a
Calcula la desviación típica σ\sigma, si μ=250 g\mu = 250\,\text{g} y el 90%90\% de los panes pesa más de 245 g245\,\text{g}.
b
Suponemos ahora μ\mu desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95%95\% para μ\mu si σ=3\sigma = 3 y la media muestral basada en una muestra de tamaño n=16n = 16 resultó ser 251 g251\,\text{g}.
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Ejercicio 4

4
1 punto
En una sala con 100100 personas hay 2525 personas que usan gafas. Si se eligen dos personas al azar de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas use gafas?
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos ciudades utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 55 unidades de A y 44 de B, mientras que en cada furgón se puede transportar 22 unidades de A y 11 de B. La empresa no puede transportar más unidades de las que pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de destino puede vender como máximo 9090 unidades de A y 6060 de B. El envío de una camioneta le reporta a la empresa un beneficio de 16001600 euros, mientras que el envío de un furgón le reporta un beneficio de 600600 euros. Usando técnicas de programación lineal, ¿cuántas camionetas y furgones deben usar para maximizar el beneficio en estos transportes? ¿A cuánto asciende dicho beneficio óptimo?
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada una función definida de la forma f(x)={x2−2x+5,x≤2ax+b,x>2f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 5, & x \leq 2 \\ ax + b, & x > 2 \end{cases}
a
Determina los valores de aa y bb que hacen que f(x)f(x) y su derivada f′(x)f'(x) sean continuas en todo xx.
b
Representa gráficamente la función para a=−1a = -1 y b=4b = 4.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Los miembros de una sociedad europea de Amigos del Camino de Santiago son el 30%30\% españoles, el 60%60\% franceses y el resto de otras nacionalidades. Los franceses de la sociedad son peregrinos en la proporción de uno de cada mil, los españoles en la proporción de uno de cada cien, mientras que el resto de los miembros de la sociedad es peregrino en la proporción de uno de cada diez mil. Se elige al azar un miembro de la sociedad.
a
¿Cuál es la probabilidad de que sea peregrino?
b
Si el miembro elegido resultó ser peregrino del Camino de Santiago, ¿cuál es la probabilidad de que no sea español ni francés?
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Ejercicio 4

4
1 punto
El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media μ=5,5 mm\mu = 5{,}5\,\text{mm} y varianza σ2=0,64 mm2\sigma^2 = 0{,}64\,\text{mm}^2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4,34{,}3 y 7,1 mm7{,}1\,\text{mm}, ¿cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables?
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