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la cuevadel empollón
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1Opción A

10 puntos
a
Dada la matriz A=(a2+a2a0a−13a10a)A = \begin{pmatrix} a & 2 + a & 2a \\ 0 & a - 1 & 3a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix},10 pts
a.1
calcule su rango en función de aa.6 pts
a.2
Calcule A−1A^{-1} para a=1a = 1.4 pts
b
Considere el siguiente sistema:10 pts
b.1
Discuta para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible: {(a+3)x+(2a−1)y=0(a+1)x−az=a2x+(a−2)y−az=a\begin{cases} (a + 3)x + (2a - 1)y = 0 \\ (a + 1)x - az = a \\ 2x + (a - 2)y - az = a \end{cases}7 pts
b.2
Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.3 pts
c
Sea la función f(x)=sen⁡(2x)−xf(x) = \sen(2x) - x. Demuestre que la función f(x)f(x) tiene exactamente tres ceros en el intervalo (−π2,π2)\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right). O sea, debe probar que existen exactamente tres valores de xx en el intervalo (−π2,π2)\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) tales que f(x)=0f(x) = 0.10 pts
d
Realice un dibujo del recinto limitado por las curvas y1(x)=4−x2y_1(x) = 4 - x^2, y2(x)=x2y_2(x) = x^2 (4 puntos). Calcule el área de este recinto (6 puntos).10 pts