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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2013

2 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
a
Dada la matriz A=(a2+a2a0a−13a10a)A = \begin{pmatrix} a & 2 + a & 2a \\ 0 & a - 1 & 3a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix},10 pts
a.1
calcule su rango en función de aa.6 pts
a.2
Calcule A−1A^{-1} para a=1a = 1.4 pts
b
Considere el siguiente sistema:10 pts
b.1
Discuta para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible: {(a+3)x+(2a−1)y=0(a+1)x−az=a2x+(a−2)y−az=a\begin{cases} (a + 3)x + (2a - 1)y = 0 \\ (a + 1)x - az = a \\ 2x + (a - 2)y - az = a \end{cases}7 pts
b.2
Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.3 pts
c
Sea la función f(x)=sen⁡(2x)−xf(x) = \sen(2x) - x. Demuestre que la función f(x)f(x) tiene exactamente tres ceros en el intervalo (−π2,π2)\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right). O sea, debe probar que existen exactamente tres valores de xx en el intervalo (−π2,π2)\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) tales que f(x)=0f(x) = 0.10 pts
d
Realice un dibujo del recinto limitado por las curvas y1(x)=4−x2y_1(x) = 4 - x^2, y2(x)=x2y_2(x) = x^2 (4 puntos). Calcule el área de este recinto (6 puntos).10 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
a
Consideramos el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3) y la recta r:x−23=y+12=z−11r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}.10 pts
a.i
Calcule la ecuación general del plano π\pi que contiene el punto PP y la recta rr.4 pts
a.ii
Calcule el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.6 pts
b
Considere el siguiente sistema:10 pts
b.i
Discuta para qué valores de aa y bb el sistema siguiente es compatible: {(a−1)x+5ay+az=a−by−2az=a+b3ay+(2−a)z=b\begin{cases} (a - 1)x + 5ay + az = a - b \\ y - 2az = a + b \\ 3ay + (2 - a)z = b \end{cases}7 pts
b.ii
Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.3 pts
c
Sea la función f(x)=1x−1−1x−2f(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}.10 pts
c.i
Calcule los extremos de la función f(x)f(x).7 pts
c.ii
Estudie cuándo la función f(x)f(x) es cóncava o convexa.3 pts
d
Calcule la siguiente integral indefinida: ∫x−1x3+x2dx\int \frac{x - 1}{x^3 + x^2} dx10 pts
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