Matemáticas II · Baleares 2013

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 + a & 2a \\ 0 & a - 1 & 3a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$,

Considere el siguiente sistema:

Sea la función $f(x) = \sen(2x) - x$. Demuestre que la función $f(x)$ tiene exactamente tres ceros en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$. O sea, debe probar que existen exactamente tres valores de $x$ en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ tales que $f(x) = 0$.

Realice un dibujo del recinto limitado por las curvas $y_1(x) = 4 - x^2$, $y_2(x) = x^2$ (4 puntos). Calcule el área de este recinto (6 puntos).

Consideramos el punto $P(1, 2, 3)$ y la recta $r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

Considere el siguiente sistema:

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}$.

Calcule la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{x - 1}{x^3 + x^2} dx$$