3

2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

3.1)2,5 pts

Considere la función real de variable real

f(x) = x(x^2 + a),

donde

a > 0

es un parámetro real.

3.1.a)1 pts

Calcule el valor de

a

para que la primitiva de

f(x)

F(x)

, cumpla que

F(0) = 0

F(1) = 1

3.1.b)0,5 pts

Para

a = \frac{3}{2}

, obtenga el área del recinto delimitado por

f(x)

, el eje horizontal y las rectas verticales

x = 0

x = 2

3.1.c)1 pts

Halle los valores de

a

que hacen que la pendiente de la recta tangente a

f(x)

en el punto

x = 1

sea 1.

3.2)2,5 pts

Se considera la función real de variable real definida por

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2x - 1} & \text{si } x < 0, \\ \frac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} & \text{si } x \geq 0. \end{cases}

3.2.a)0,5 pts

Determine el dominio de

f(x)

3.2.b)0,5 pts

Estudie la continuidad de

f(x)

x = 0

3.2.c)1,5 pts

Calcule las asíntotas de

f(x)