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la cuevadel empollón
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1Opción A

10 puntos
Se dan las matrices A=(0−213)A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y MM, donde MM es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M2=MM^2 = M. Obtener razonadamente:
a)2 pts
Todos los valores reales kk para los que la matriz B=A−kIB = A - kI tiene inversa.
b)2 pts
La matriz inversa B−1B^{-1} cuando k=3k = 3.
c)4 pts
Las constantes reales α\alpha y β\beta para las que se verifica que αA2+βA=−2I\alpha A^2 + \beta A = -2I.
d)2 pts
Comprobar razonadamente que la matriz P=I−MP = I - M cumple las relaciones: P2=PP^2 = P y MP=PMMP = PM.