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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2011

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se dan las matrices A=(0−213)A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y MM, donde MM es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M2=MM^2 = M. Obtener razonadamente:
a)2 pts
Todos los valores reales kk para los que la matriz B=A−kIB = A - kI tiene inversa.
b)2 pts
La matriz inversa B−1B^{-1} cuando k=3k = 3.
c)4 pts
Las constantes reales α\alpha y β\beta para las que se verifica que αA2+βA=−2I\alpha A^2 + \beta A = -2I.
d)2 pts
Comprobar razonadamente que la matriz P=I−MP = I - M cumple las relaciones: P2=PP^2 = P y MP=PMMP = PM.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se dan las matrices M=(12121121−1)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} y TT, y se sabe que TT es una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas cuyo determinante vale 2\sqrt{2}. Calcular razonadamente los determinantes de las siguientes matrices, indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo:
a)3 pts
12T\frac{1}{2}T.
b)3 pts
M4M^4.
c)4 pts
TM3T−1T M^3 T^{-1}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x=3+λy=−1+2λz=2+λr: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} y s:{x+2y−1=03y−z+2+α=0s: \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 3y - z + 2 + \alpha = 0 \end{cases}. Obtener razonadamente:
a)4 pts
El valor de α\alpha para el que las rectas rr y ss están contenidas en un plano.
b)2 pts
La ecuación del plano que contiene a las rectas rr y ss para el valor de α\alpha obtenido en el apartado anterior.
c)4 pts
La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que contiene el punto (1,2,1)(1, 2, 1).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se da la recta r:{x−4y=0y−z=0r: \begin{cases} x - 4y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} y el plano πα:(2+2α)x+y+αz−2−6α=0\pi_{\alpha}: (2 + 2\alpha)x + y + \alpha z - 2 - 6\alpha = 0, dependiente del parámetro real α\alpha. Obtener razonadamente:
a)3 pts
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que pasa por el punto (1,1,0)(1, 1, 0).
b)4 pts
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que es paralelo a la recta rr.
c)3 pts
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que es perpendicular a la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Dada la función ff definida por: f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} Obtener razonadamente:
a)2 pts
El dominio y el recorrido de la función ff.
b)2 pts
Los valores de xx donde la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} alcanza el máximo relativo y el mínimo relativo.
c)2 pts
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de dicha función ff.
d)2 pts
Los valores de xx donde la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} tiene los puntos de inflexión.
e)2 pts
La gráfica de la curva y=x2e−xy = x^2 e^{-x}, explicando con detalle la obtención de su asíntota horizontal.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Un coche recorre el arco de parábola Γ\Gamma de ecuación 2y=36−x22y = 36 - x^2, variando la xx de −6-6 a 66. Se representa por f(x)f(x) a la distancia del punto (0,9)(0, 9) al punto (x,y)(x, y) del arco Γ\Gamma donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
a)2 pts
La expresión de f(x)f(x).
b)2 pts
Los puntos del arco Γ\Gamma donde la distancia f(x)f(x) tiene mínimos relativos.
c)2 pts
Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x)f(x).
d)4 pts
El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ\Gamma y el segmento rectilíneo que une los puntos (−6,0)(-6, 0) y (6,0)(6, 0).
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