Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2011

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(0−213)A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y MM, donde MM es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M2=MM^2 = M. Obtener razonadamente:
a
Todos los valores reales kk para los que la matriz B=A−kIB = A - kI tiene inversa.2 pts
b
La matriz inversa B−1B^{-1} cuando k=3k = 3.2 pts
c
Las constantes reales α\alpha y β\beta para las que se verifica que αA2+βA=−2I\alpha A^2 + \beta A = -2I.4 pts
d
Comprobar razonadamente que la matriz P=I−MP = I - M cumple las relaciones: P2=PP^2 = P y MP=PMMP = PM.2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x=3+λy=−1+2λz=2+λr: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} y s:{x+2y−1=03y−z+2+α=0s: \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 3y - z + 2 + \alpha = 0 \end{cases}. Obtener razonadamente:
a
El valor de α\alpha para el que las rectas rr y ss están contenidas en un plano.4 pts
b
La ecuación del plano que contiene a las rectas rr y ss para el valor de α\alpha obtenido en el apartado anterior.2 pts
c
La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que contiene el punto (1,2,1)(1, 2, 1).4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función ff definida por: f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} Obtener razonadamente:
a
El dominio y el recorrido de la función ff.2 pts
b
Los valores de xx donde la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} alcanza el máximo relativo y el mínimo relativo.2 pts
c
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de dicha función ff.2 pts
d
Los valores de xx donde la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} tiene los puntos de inflexión.2 pts
e
La gráfica de la curva y=x2e−xy = x^2 e^{-x}, explicando con detalle la obtención de su asíntota horizontal.2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices M=(12121121−1)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} y TT, y se sabe que TT es una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas cuyo determinante vale 2\sqrt{2}. Calcular razonadamente los determinantes de las siguientes matrices, indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo:
a
12T\frac{1}{2}T.3 pts
b
M4M^4.3 pts
c
TM3T−1T M^3 T^{-1}.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
Se da la recta r:{x−4y=0y−z=0r: \begin{cases} x - 4y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} y el plano πα:(2+2α)x+y+αz−2−6α=0\pi_{\alpha}: (2 + 2\alpha)x + y + \alpha z - 2 - 6\alpha = 0, dependiente del parámetro real α\alpha. Obtener razonadamente:
a
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que pasa por el punto (1,1,0)(1, 1, 0).3 pts
b
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que es paralelo a la recta rr.4 pts
c
La ecuación del plano πα\pi_{\alpha} que es perpendicular a la recta rr.3 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Un coche recorre el arco de parábola Γ\Gamma de ecuación 2y=36−x22y = 36 - x^2, variando la xx de −6-6 a 66. Se representa por f(x)f(x) a la distancia del punto (0,9)(0, 9) al punto (x,y)(x, y) del arco Γ\Gamma donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
a
La expresión de f(x)f(x).2 pts
b
Los puntos del arco Γ\Gamma donde la distancia f(x)f(x) tiene mínimos relativos.2 pts
c
Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x)f(x).2 pts
d
El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ\Gamma y el segmento rectilíneo que une los puntos (−6,0)(-6, 0) y (6,0)(6, 0).4 pts
Ver este ejercicio