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3 puntos

Análisis

Responda uno de los siguientes apartados: 3.1. o 3.2.

CONTEXTO El beneficio de una empresa depende básicamente de sus ventas. Cuando las ventas son pequeñas, el beneficio puede ser negativo debido a los costes fijos. También puede ser negativo cuando las ventas son grandes debido al aumento de los costes de producción. El beneficio diario de una empresa, en cientos de euros, viene dado por la función

B(x) = -x^2 + 10x - 16

donde

x

son los miles de unidades vendidas al día, con

1 \leq x \leq 9

. Responda estos tres apartados: 3.1.1., 3.1.2. y 3.1.3.

3.1.1

¿A cuánto asciende el beneficio máximo que puede obtener la empresa? ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzarlo? Contextualice las respuestas.

3.1.2

Determine los valores de

x

para los que la empresa obtiene beneficios positivos. Contextualice la respuesta.

3.1.3

Calcule el beneficio medio (

B_{\mathrm{m}}

) obtenido por la empresa cuando vende entre

3000

7000

unidades, sabiendo que viene dado por

B_{\mathrm{m}} = \frac{1}{7-3}\int_3^7 B(x)\,dx.

CONTEXTO En el año 2025 las reservas de agua de varios embalses gallegos se han visto comprometidas a causa de la falta de precipitaciones y del aumento de la evaporación del agua debida a las altas temperaturas. Esta situación ha provocado que a finales del verano se haya activado la prealerta por escasez moderada de agua en muchos municipios gallegos, viéndose afectada cerca del

30\,\%

de la población de Galicia. En concreto, en un determinado embalse, se estima que las reservas acumuladas de agua (medidas en porcentaje de su capacidad) vienen dadas por la función

\begin{aligned} R(t) &= \\ &\begin{cases} 96 - 2(t-3)^2, & 0 \leq t \leq 6 \\ 5(t-9)^2 + 33, & 6 < t \leq 12 \end{cases} \end{aligned}

en donde la variable

t

representa el tiempo transcurrido en meses contados a partir del día 1 de enero de 2025. Responda estos tres apartados: 3.2.1., 3.2.2. y 3.2.3.

3.2.1

Determine los períodos del año en los que las reservas de agua han aumentado y disminuido. Contextualice las respuestas.

3.2.2

¿Cuáles han sido las reservas mínimas? ¿En qué momento o momentos se han producido? Contextualice las respuestas.

3.2.3

Utilizando la información de los apartados anteriores represente gráficamente la evolución de las reservas de agua del embalse a lo largo del año 2025.