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la cuevadel empollón
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3

2,5 puntos
Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 %50\,\% de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de n=2.500n = 2.500 páginas web gestionadas por esta empresa. Fórmulas para resolver el ejercicio: • Z∼normal (0,1)→Z \sim \text{normal}\,(0, 1) \rightarrow P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) = 0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma \in (0, 1) — para la proporción (muestras grandes):[p^−zγp^(1−p^)n,p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]— para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida):[xˉ−zγσn,xˉ+zγσn]\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]— para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida):[xˉ−zγsn,xˉ+zγsn]\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}\right]
3.1
Se supone que, cada vez que se selecciona una página web para la muestra, esta puede ser eficiente (o no serlo) con una probabilidad p=0,5p = 0{,}5 y que el hecho de que una página sea eficiente (o no) es independiente de que el resto de las páginas lo sean (o no). Se considera la variable aleatoria XX, que cuenta el número de páginas, de entre las 2.500 de la muestra, que son eficientes. ¿Qué distribución tiene la variable XX? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para ello, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad.1,25 pts
3.2
En la muestra de n=2.500n = 2.500 páginas web, se ha obtenido una media muestral del tiempo de carga de xˉ=2,95\bar{x} = 2{,}95 segundos y una desviación típica muestral de s=0,38s = 0{,}38 segundos. Suponga que el tiempo de carga de las páginas web sigue una distribución normal. Construya un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué se puede decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50 %50\,\% de las páginas web que gestiona son eficientes?1,25 pts