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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Configure su examen con cuatro preguntas seleccionadas libremente de los grupos A o B. En caso de presentar más de cuatro preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Grupo A
Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
a
Calcule: ∫0π/2xsen⁡x dx\int_{0}^{\pi/2} x \sen x \, dx1,25 pts
b
Halle las asíntotas de la función: f(x)=x3+5x2x2−1f(x) = \frac{x^3 + 5x^2}{x^2 - 1}1,25 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Grupo B
Halle los valores de aa y bb para que la recta de ecuación y=6x+ay = 6x + a sea tangente a la curva f(x)=bx−1bx+1f(x) = \frac{bx - 1}{bx + 1} en el punto de abscisa x=0x = 0. Escriba las funciones que se obtienen.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Grupo A
Dadas las matrices:A=(12112910−35)B=(22013910−34)C=(−10−3−160)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & -3 & 5 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & -3 & 4 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}Se plantea la siguiente ecuación matricial: X⋅A−Ct=X⋅BX \cdot A - C^t = X \cdot B
a
Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz XX.0,5 pts
b
Halle la matriz XX que cumple la ecuación.2 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Grupo B
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:{kx+2y+6z=02x+ky+4z=22x+ky+6z=k−2\begin{cases} kx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ky + 4z = 2 \\ 2x + ky + 6z = k - 2 \end{cases}
a
Discuta el sistema según los valores del parámetro kk.1,75 pts
b
Resuelva el sistema para k=0k = 0.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Grupo A
Dada la recta r:{x=−2λy=2+λz=2+λr : \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}, y dado el plano π≡x−3y+5z=2\pi \equiv x - 3y + 5z = 2
a
¿Cuál es la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi?1,25 pts
b
Calcular el plano π′\pi' que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Grupo B
Consideremos el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1), y la recta r:{x+y=53y+z=14r : \begin{cases} x + y = 5 \\ 3y + z = 14 \end{cases}
a
Encuentre la ecuación del plano π\pi que contiene al punto PP y es perpendicular a la recta rr.1,5 pts
b
Consideremos Q(1,4,2)Q(1, 4, 2), un punto de la recta rr. Y sea ss la recta determinada por los puntos PP y QQ. Calcule el ángulo que forman las rectas rr y ss.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Grupo A
Si una bombilla fluorescente presenta un 90% de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas fluorescentes de este tipo, justificar si las siguientes afirmaciones son ciertas:
a
Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30% tienen una vida útil de al menos 800 horas.1 pt
b
La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,70{,}7.1 pt
c
El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Grupo B
Mi despertador no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, llego tarde a clase el 20% de las veces; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,90{,}9.
a
Represente el diagrama de árbol del problema.0,5 pts
b
Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20%.0,75 pts
c
Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,50{,}5.0,75 pts
d
Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador?0,5 pts
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